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TEMA: Entonces, ¿están calculando decimales de (p) o de f(x)?

Entonces, ¿están calculando decimales de (p) o de f(x)? 06 Ene 2016 01:57 #34629

- Siendo (p) (numero irracional trascendente – infinitos decimales no periódicos) la relación (razón) entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana.
Otras relaciones: (básicas)
* Longitud de una circunferencia – su perímetro – de radio (r): (C = 2pr)
* Área del círculo de radio (r): (A = pr^2)
* Área de una esfera de radio (r): (A = 4pr^2)
* Volumen de una esfera de radio (r): (V = (4/3)pr^3)

- ¿(p), es un número irracional?
Heinrich Lambert: demostró que si (x) es racional la tan(x) es irracional. Entonces, si tan(x) es racional, (x) es irracional. Siendo tan(p/4)=1, (p/4) es irracional; entonces: (p) es irracional. ¿No será demasiado simple?, je.

- ¿f(x)=p, es verificable?
Verificabilidad: relación entre una proposición y su verificación. No es la verdad de un juicio lo que nos asegura su verificabilidad, sino la verificabilidad lo que nos asegura su verdad. No se comprueban las verdades, se verifican las comprobaciones. Es decir no hay juicios verdaderos, que luego comprobamos; sino comprobaciones que nos permiten formular juicios verdaderos. Mientras no hay comprobación posible, ningún juicio es ni verdadero ni falso (en un contexto donde la concepción de verdad esté relacionada con el principio del tercero excluido: lógica bivalente).
Nota: Tengo por ejemplo un numero (a), opero para determinar su valor y obtengo 3.1415... {el enunciado no afirma que: (a=p)} Ahora, tomemos la proposición: "el numero (a) es igual a (p)", ¿es verdadera o falsa? Opero, sigo y sigo obteniendo decimales de (a) {reconociéndolos como coincidentes respecto de decimales (previamente reconocidos como correctos {uhm…})} de (p). Sin embargo, aun en este, posiblemente inmejorable contexto; no creo poder verificar que: (a=pip). Y si no puedo verificarlo en una concepción de verdad de verificabilidad, la proposición "el numero (a) es igual a (p)", ni es verdadera ni es falsa.
- ¿Errores en el cálculo de los decimales de (p)?:
* 1789: Jurij Vega – cálculo 140 decimales, de los cuales 14 estaban equivocados.
* 1841: William Rutherford – cálculo 208 decimales, de los cuales 56 estaban equivocados.
* 1844: Zacharias Dase y Strassnitzky – calcularon 205 decimales, de las cuales 5 estaban equivocados.
* 1853: William Rutherford – cálculo 440 decimales, sin equivocaciones.
* 1874: William Shanks – cálculo 707 decimales, de las cuales 178 estaban equivocados.

- Determinando cuán rápido converge una sucesión o serie numérica (orden de convergencia):
Dada la sucesión (X) que converge a (nx), diremos que el orden de convergencia es (p)>0 si el límite (lim (n a infinito) ([X(n)–(nx)]/[X(n-1)–(nx)]^p)) es finito (C).
Entonces, para (n) suficientemente grande tendremos: ([X(n)–(nx)] ≈ C*[X(n-1)–(nx)]^p). Vemos que si la diferencia entre (Xn) y (nx) es pequeña, cuanto más grande sea (p: orden de convergencia), más rápido convergerá (también es el caso cuanto menor sea (C), pero resulta ser menos representativo).
Experimento: (determinando el orden de convergencia)
E(n) ≈ [X(n)–(nx)]; E(n+1) ≈ C*E(n)^p; E(n+2) ≈ C*E(n+1)^p;
E(n+2)/E(n+1) ≈ (E(n+1)/E(n))^p; P ≈ log(E(n+2)/E(n+1))/log(E(n+1)/E(n)), mientras más grande sea (n) más representativa será esta ecuación.

Calculando órdenes de convergencia (algoritmo):
Función [p, err]=orden(x, valor)
Entradas:
1) Un vector [x(1), x(2), ..., x(i)] conteniendo los (i) primeros términos de una sucesión.
2) El valor al que converge la sucesión: (nx = valor).
Salidas:
1) Los (i) errores [err(1), err(2), ..., err(i)], donde err(n)=abs(x(n)-(nx)).
2) Las (i−2) estimaciones del orden de convergencia [p(1), p(2), ..., p(i-2)], donde p(n)=log(err(n+2)/err(n+1))/log(err(n+1)/err(n)).
Nota: habitualmente se desconoce el valor exacto del lımite: (nx: en nuestro caso (p)). En esos casos, se utilizaría la mejor estimación disponible (usualmente, el último elemento de la sucesión).
Ejemplo de una muy mala elección de (nx): p = 4*Sumatoria (n=1 a infinito) (-1^(n-1)/(2n-1)) = 4*(1-1/3+1/5-1/7+…); entonces para (n=4): (nx = 2,895238095…). O sea: se basan en previas aproximaciones al número (p) {de verificación circular, nada… (bueno si, ¿pero solo de las afortunadamente no viciadas?)}.

- ¿Fórmulas para calcular decimales de (p) o f(x)?
* Ramanujan:
1/p = sqrt(8)/9801*sumatoria (0 a infinito) {[(4n)!*(1103+26390n)]/[(n!)^4*396^(4n)]}
* Fabrice Bellard:
p = 1/64 sumatoria (0 a infinito) {(-1)^n/2^(10n)*[-2^5/(4n+1)-1/(4n+3)+2^8/(10n+1)-2^6/(10n+3)-2^2/(10n+5)-2^2/(10n+7)+1/(10n+9)]}
* Françoise Viète:
2/p = sqrt(1/2)*sqrt((1/2)+1/2*sqrt(1/2))*sqrt((1/2)+1/2*sqrt((1/2+1/2*sqrt(1/2))*…
* Wallis:
p/2 = 2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7*8/7*...*(2n)/(2n-1)*(2n)/(2n+1)*...
* Mediante series de Taylor:
p/2 = 1+1/2*1/3+(1*3)/(2*4)*1/5+(1*3*5)/(2*4*6)*1/7+...
* Mediante series de Fourier:
p/4 = 1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... {conocida como serie de Leibniz}.
* 5 billones de decimales de (p):
Chudnovsky: (cálculo de decimales)
1/p = (sqrt(10005)/4270934400)*Sumatoria (k=0 a infinito) (
(6k!*(13591409+545140134k))/((k!^3*3k!)*640320^(3k))
Plouffe: (verificación)
p = Sumatoria (k=0 a infinito) (1/(16)^k*(4/(8k+1)-2/(8k+4)-1/(8k+5)-1/(8k+6)))
Bellard: (verificación)
p = 1/(2)^6*Sumatoria (k=0 a infinito) (-1^k/1024^k*(256/(10k+1)+1/(10k+9)-64/(10k+3)-32/(4k+1)-4/(10k+5)-4/(10k+7)-1/(4k+3)))
www.numberworld.org/misc_runs/pi-5t/details.html

Opinión: tomando en consideración lo poco que creo entender del método (genérico) empleado en el cálculo de decimales de (p), concluyo (provisionalmente) que: no logra convencerme de su exactitud.
Quizás sea por no ser matemático (o por mi desconocimiento profundo del: análisis de convergencia de una serie numérica o sucesión). Pero afirmar (apodícticamente) un específico y convalidante orden de convergencia de una serie numérica o sucesión, hacia un valor (limite) desconocido: (p) y, sin tan siquiera ser f(x) consecuencia de operar relaciones entre la longitud de una circunferencia y su radio; creo que es un temerario acto de fe.
Nota: se me ocurrió una posible generalización para el cálculo del área de figuras geométricas. Para determinar el área de cualquier figura geométrica – en este caso bidimensional –, tan solo debemos determinar su perímetro (P) – básicamente sumando la longitud de sus lados –, luego despejar (r) empleando la ecuación (r=P/2p). Finalmente, resolvemos la ecuación (A=pr^2). Considero que, con algunas modificaciones, este método puede aplicarse a dimensiones superiores – por ej., para una figura geométrica de tres dimensiones: determinada su área (A), empleamos la relación SA:V de una esfera, es decir (3/r) y obtenemos su volumen (V) –.
- Relación SA:V: Cociente entre el área superficial de una figura geométrica y su volumen.
A lo sumo: un confundido.
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Entonces, ¿están calculando decimales de (p) o de f(x)? 09 Ene 2016 13:38 #34637

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dudainconsistente escribió:
Nota: se me ocurrió una posible generalización para el cálculo del área de figuras geométricas. Para determinar el área de cualquier figura geométrica – en este caso bidimensional –, tan solo debemos determinar su perímetro (P) – básicamente sumando la longitud de sus lados –, luego despejar (r) empleando la ecuación (r=P/2p). Finalmente, resolvemos la ecuación (A=pr^2). Considero que, con algunas modificaciones, este método puede aplicarse a dimensiones superiores – por ej., para una figura geométrica de tres dimensiones: determinada su área (A), empleamos la relación SA:V de una esfera, es decir (3/r) y obtenemos su volumen (V) –.
- Relación SA:V: Cociente entre el área superficial de una figura geométrica y su volumen.

Me temo que no es tan sencillo. El área de una figura no depende exclusivamente de su perímetro, sino de como está, digamos, conformado ese perímetro. Esto es muy fácil verlo. Un cuadrado de lado 1 tiene un perímetro de 4 y un área de 1. Un rectángulo del mismo perímetro siempre será menor, pero por ir a un ejemplo concreto, tenemos el rectángulo de base 1.5 y de altura 0.5, que tiene un área de 0.75. Ni pi ni el perímetro pintan nada a la hora de calcular el área de un rectángulo.

Las fórmulas P = 2(pi)r y A = (pi)r^2 son específicas para el círculo y no se pueden extrapolar tan alegremente.

Es una pena, porque calcular áreas de figuras complejas tan fácilmente sería un avance increíble para la ciencia.
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Última Edición: 09 Ene 2016 13:39 por raven.
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Entonces, ¿están calculando decimales de (p) o de f(x)? 09 Ene 2016 16:59 #34640

raven:
Gracias por la corrección. No probé el método, que si bien, me resultaba coherente; era algo que dejaría para cuando lo desarrolle. Su refutación, mes es incuestionable. Aunque, de momento me resulta contra intuitivo el que mi método no funcione. Gracias a su refutación, intentare reflexionar las razones de ello.
A lo sumo: un confundido.
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Entonces, ¿están calculando decimales de (p) o de f(x)? 26 Ene 2016 20:26 #34799

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Perdón, llevo tiempo sin pasar por aquí.

Una forma muy intuitiva de verlo es pensar en un polígono cóncavo y otro convexo con el mismo perímetro. Aquí hay un ejemplo (no sé si las aristas son exáctamente iguales, pero más o menos...)
4.bp.blogspot.com/_CYEDoVbM_Jc/TEhOJ6ReS...oncava+y+convexa.gif
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Entonces, ¿están calculando decimales de (p) o de f(x)? 26 Ene 2016 20:28 #34800

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Si el triángulo "grande" es igual en las dos figuras, a igualdad de perímetro el cóncavo tiene menor área, porque el triángulo pequeño se resta, mientras que en la figura convexa se suma.
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Última Edición: 26 Ene 2016 20:29 por raven.
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Entonces, ¿están calculando decimales de (p) o de f(x)? 26 Ene 2016 20:40 #34801

Refutación del método:
Teniendo el mismo perímetro, dos figuras diferentes – cuadrado de (1x1) y rectángulo de (1.5x0.5) –, resultan ser diferentes sus áreas. Además, ninguna de ellas, siquiera coincide con las calculadas por mi método.

Luego de reflexionar al respecto, me percaté de que mi groso error, radica en que: ingenuamente presumí, que el área de un círculo, era el área mínima que cualquier perímetro podría contener. Sin siquiera advertir que: desplazar parte de la circunferencia de un círculo hacia el su centro, reduce su área, pero mantiene su perímetro. A lo mucho, y sin haber realizado las comprobaciones pertinentes, devendría siendo una forma general de calcular el área máxima de cualquier perímetro. Lo se: que idiota.

Nuevamente: gracias raven
A lo sumo: un confundido.
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