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TEMA: Rodas, Alejandría y Canopus. El problema de Posidonio

Rodas, Alejandría y Canopus. El problema de Posidonio 23 Nov 2010 13:37 #319

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El año pasado se susctió un hilo en el foro de la asignatura en torno a una pregunta de examen. Transcribo aquí el intercambio de mensajes relevantes por si os resulta interesante:
Mensaje nº. 85
Autor: JESICA NOELIA FORLÁN
Fecha: Sábado, Noviembre 7, 2009 17:03

A ver si alguien me puede ayudar con una pregunta de un examen anterior:

Si Rodas y Alejandría no estuviesen en el mismo meridiano, qué habría que calcular?

(TB 170 y 171)

Supongo que habría que hacer los cálculos en el momento en que Rodas tuviera a Canopus en su meridiano y compararlo con las mediciones de cuando la estrella estuviera en el mismo meridiano que Alejandría, y no ya en el mismo momento de la estrella para las dos ciudades a la vez pues están en longitudes diferentes.

O NO, no sé cuál es la respuesta a esta pregunta.

Gracias y saludos

jesica


Citación:
Mensaje nº. 89
Autor: SENADOR ANTONIO JARAIZ ZAMORA
Fecha: Lunes, Noviembre 9, 2009 22:39
hola jesica. llevo un rato dándole vueltas a la cuestión y no encuentro respuesta satisfactoria. Lo que es claro, es que se trata de un método "geométrico" para determinar el tamaño de la tierra, o sea, necesita de la recta (cuerda) y del círculo (forma de la esfera). por lo que de todas todas tienen que estar en el mismo meridiano.
Quizás la comparación que propones pudiera servir para determinar las dos estaciones que efectivamente tuvieran la misma longitud, por lo que creo habría que calcular es esta diferencia para encontrar un tercer punto de referencia adecuado. Ójala apareciera alguna pista que aportara un poco más de luz al respecto...[...]


Citación:
Mensaje nº. 90
Autor: JAVIER JURADO GONZÁLEZ
Fecha: Martes, Noviembre 10, 2009 11:43
Yo he estado todo el fin de semana dándole vueltas a tu planteamiento Jessica.

Lo cierto es que en situación estática, desde el punto de vista geométrico pensando sólo en dos esferas concéntricas y en la definición de un plano común a 4 puntos (centro de la Tierra, 2 puntos en su superficie, una estrella en la esfera exterior) es irrelevante que estén en el mismo meridiano o no. Pues el meridiano es un concepto ligado a la dinámica
del movimiento (de la esfera de las fijas en torno a la Estrella Polar, según pensarían los griegos).

Por eso, aun estando en diferente meridiano, bastaría con que se fijaran en alguna estrella que estuviese alineada con ambas ciudades y les sirviera de referente para hacer la medida de Posidonio. (De hecho, la de Eratóstenes es una medida que también es válida en cualquier punto, y no sólo en Alejandría, aproximando que los rayos del Sol llegan paralelos a la Tierra).

El problema, sin embargo, es el de la sincronización, es decir, medir a la vez la posición de la estrella desde ciudades distantes. Al introducir el factor tiempo, entonces sí puede ser necesario compartir meridiano, a falta de otro mecanismo que asegure la sincronía.

Sin embargo, sigo dándole vueltas y no he visto aún cómo solventar el problema, pues al cambiar de longitud, Canopus modificaría su distancia al horizonte, describiendo una cuerda en torno a la Estrella Polar con un número de grados igual al de la variación de su longitud con respecto al meridiano de Rodas. Pero esos grados no pueden averiguarse sin conocer el radio de la Tierra, que es precisamente lo que se pretendía hallar...

Así que sigo pensando.


Citación:
Mensaje nº. 91
Autor: ADMINISTRADOR CURSO
Fecha: Martes, Noviembre 10, 2009 12:38
Supongo que la distancia entre ellas como si estuviesen en el mismo meridiano. Para ello bastaría con trazar un triángulo retángulo, de forma que el ángul recto marcaría la intersección; la hipotenusa sería la distancia real. Puedo calcular la distancia en el mismo meridiano (uno de los lados) sabiendo la hipotenusa (distancia real) y la distancia al meridiano (el otro lado) por el teorema de Pitágoras.
¿Qué piensas?


Citación:
Mensaje nº. 96
Autor: JAVIER JURADO GONZÁLEZ
Fecha: Martes, Noviembre 10, 2009 16:22

En ese caso te diré que efectivamente al principio pensé lo que dices: basta una proyección de la distancia entre Rodas y Alejandría sobre el meridiano de Rodas para hallar la hipotética distancia a la que estaría Alejandría si conservara la misma longitud (mismo meridiano). En definitiva, se trataría de resolver el triángulo que tiene por hipotenusa la distancia entre ambas ciudades, como dices. Trivial, siempre y cuando cuente con algún dato más, esto es, en qué dirección está Alejandría de Rodas, por ejemplo (xº al Sureste o al Suroeste). La distancia sería, en nuestros términos trigonométricos actuales, multiplicar los estadios entre Rodas y Atenas por el coseno de dicho ángulo. El resultado sería la distancia a seguir desde Rodas exactamente por su meridiano hacia el sur. Pero esta solución sólo sería válida si puedo irme a ese punto, que no es Alejandría, en mitad del desierto, por ejemplo, y me pongo a medir. Perfecto, problema resuelto.

Pero, ¿y si ese punto cayera en mitad del Nilo? Lo que yo estaba proponiéndome, al hilo del enunciado del problema que puede resultar ambiguo en este sentido, es cómo hacer la medida sin abandonar Alejandría. En este caso, no encontraba solución porque el movimiento entre Rodas y Alejandría (la hipotenusa de nuestro anterior triánguo) precisamente se situaría como la mezcla de dos movimientos, el de latitud y el de longitud, ambos relacionados con el desplazamiento de Canopus en el cielo a través del radio de la Tierra, y que impiden poder resolver el problema a falta de más datos (porque nos encontramos, por decirlo en términos matemáticos, con menos ecuaciones que incógnitas).

¿Debo entender entonces que estoy en lo cierto, que no hay solución al problema según yo lo planteaba desde Alejandría, y que el enunciado hay que interpretarlo conforme tú exponías, haciendo que la respuesta correcta sea irse al este (u oeste) de Alejandría unos cuantos estadios?
¿Alguna aportación?

Archivo Adjunto:

Nombre del Archivo: Proyeccin Rodas-Alejandra.pdf
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Archivo Adjunto:

Nombre del Archivo: Medida de Posidonio.pdf
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Última Edición: 23 Nov 2010 13:55 por Kierkegaard.
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Re: Rodas, Alejandría y Canopus. El problema de Posidonio 08 Dic 2010 11:17 #528

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Yo creo que la solución pasa, básicamente, por lo que dice el tutor. Si Alejandría (A) y Rodas (R) no están en el mismo meridiano, entonces la distancia entre A y R es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyo primer cateto es la distancia entre A-B (siendo B el punto en que el meridiano de Rodas se cruza con el paralelo de A) y su segundo cateto la distancia R-B. Basta resolver el triángulo rectángulo donde A-R= 5.000 estadios. Hay que medir A-B.

Ahora bien, tú Kierkegaard vas más allá y quieres resolver el problema sin medir directamente in situ A-B (sin movernos de Alejandría). También se puede. Por hipótesis sabemos que A y R no están en el mismo meridiano. Y ¿cómo lo sabemos? Porque el sol no se pone a la misma hora en A que en R. Entonces es que sabemos la diferencia horaria de las puestas de sol, lo que nos permite saber también los grados (o minutos) angulares de diferencia, pongamos que son 10’ (angulares, no horarios). Entonces resolvemos igual el triángulo rectángulo A-R-B, pero tomando como valor de la hipotenusa los grados en vez de los estadios (7º 30’). A-R= 450’. A-B= 10’. Y obtenemos (en minutos) la distancia R-B. Si A-R en minutos equivale a 5.000 estadios, eso nos permite calcular los estadios de R-B expresada en minutos, lo que nos permite calcular cuánto mide la circunferencia terrestre.

El problema es el de la sincronía, para saber la diferencia de longitud entre R y A; pero basta, por ejemplo, con saber el desfase horario en un día bien conocido [los equinoccios (de primavera o de otoño), pues en esas dos fechas el día y la noche tienen la misma duración en toda la Tierra] entre A y R. (Sistema que sería parecido al que se utilizó para saber el desfase de inclinación de Canopus entre A y R: medir la diferencia de altura de esa estrella en el cielo de ambas ciudades en un mismo día señalado del año).

En el examen, pues, creo que habría que contestar: "Habría que calcular la distancia desde Alejandría al punto de su mismo paralelo cruzado por el meridiano de Rodas y, así, resolver el triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide la distancia entre Alejandría y Rodas. Se hace caso omiso de la curvatura terrestre que, en esas distancias cortas, es prácticamente irrelevante y se puede despreciar a efectos del cálculo".

De todas formas, estoy casi seguro que esa pregunta es de las del plan antiguo (la asignatura estaba dividida en dos cursos y, por lo tanto, era más detallado su contenido) de las que le gusta plantear a Goldáraz en el curso virtual, pero que son poco útiles en el plan nuevo. Una pregunta de ese tipo es muy improbable que caiga ahora.
Bin ich doch kein Philosophieprofessor, der nöthig hätte, vor dem Unverstande des andern Bücklinge zu machen.
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Última Edición: 08 Dic 2010 11:22 por Nolano.
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Re: Rodas, Alejandría y Canopus. El problema de Posidonio 08 Dic 2010 14:46 #535

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Por puntos:

1. Sobre la precisión no euclidiana

Entiendo, como evidencia tu autocorrección, que todos los cálculos que propones son aproximados tomando por euclidiana una geometría que no lo es (aparte del error que siempre se le supone a tomar medidas, especialmente en el siglo I a.C., y las imprecisiones de tomar como referencia un siempre irregular horizonte).

En el caso de abandonar Alejandría, esto es evidente, al tener, como tú dices, que resolver de forma euclidiana un triángulo que en realidad se apoya en una superficie esférica (la circunferencia de la Tierra saldría más pequeña de lo que en realidad es, porque la distancia entre R y A’ no sería RA por el coseno del ángulo x del que yo hablaba, sino un poco más).

Mi inquietud es si esta falta de precisión que sobre la Tierra te parece una diferencia despreciable, es del mismo orden de magnitud que aquella en la que incurriríamos si extrapoláramos nuestra medición a la esfera de las fijas o al Sol, y resolviéramos el mismo triángulo con grados. O si por el contrario, no sería aún mayor, al intentar hacer nuestra medición sin abandonar Alejandría como propongo.

2. Sobre la sincronía

No veo cómo te bastaría con tomar un día señalado para conseguir la sincronía, porque una puesta de Sol como la que propones dura minutos y la medida ha de ser simultánea. Lo mismo sucede en el caso de Erastótenes, porque sólo si la medida de la sombra se hiciera a las 12 a.m. de Syene, simultáneamente en Syene y en otro punto, como Alejandría, podría hacerse correctamente.

3. Sobre la diferencia de longitud medida con el Sol

Como evidencia tu corrección, suponiendo que el problema de la sincronía estuviera resuelto por un supuesto mecanismo fiable que no fuera el cielo, no veo cómo podrías medir con precisión la diferencia de longitud entre dos ciudades con diferente latitud con la puesta de Sol. Se me antoja que sólo en el caso de que las dos ciudades estuvieran en el trópico cáncer, y que además el día señalado fuera el solsticio de verano, (o en el ecuador y que el día señalado fuera el equinoccio), podría decirse que puede medirse la diferencia de longitud entre ambos meridianos, (y con ello la circunferencia de la Tierra, con la misma precisión con la que Posidonio pretendía medir la diferencia de latitud entre Rodas y Alejandría). Pero si no es así, la diferencia de latitud entre Rodas y Alejandría ¿no podría impedir medir, con una puesta de Sol, la diferencia de longitud con esa precisión requerida? Habría que haber seguido la trayectoria del Sol para intuir dónde estaría el Este exacto, y trazar desde allí la diagonal que aún debe recorrer el Sol hasya ocultarse, siendo ésta la diferencia de longitud, y no su medida con respecto al horizonte, y medir la diferente inclinación de dicha trayectoria con respecto a la que el Sol ha seguido en Rodas para medir la diferencia de latitud… ¿Me equivoco?

Me he planteado, aunque aún tengo aún que meditarlo más, lo siguiente: si volvemos a Canopus, desdeñando el problema de la sincronización, en el mismo instante en que vista desde Rodas, una noche, Canopus atravesara simultáneamente el horizonte y el meridiano que pasa por esta ciudad, ¿cómo se observaría Canopus en Alejandría? Entiendo que allí, en ese mismo instante, Canopus se vería desplazada unos grados en su azimut en torno a la Estrella Polar equivalentes a los grados de la diferencia de longitud entre Rodas y Alejandría a la derecha del meridiano que pasa por Alejandría (porque está más al Este); y por ello, también se vería desplazada, además, su altura sobre el horizonte (y que haría que no fueran 7º 30’, sino más). Si se pudiera trazar, como con un compás, el retorno de Canopus hasta el meridiano de Alejandría (corrigiendo la diferencia de longitud) ¿no obtendríamos el punto (C’) que nos permitiría conocer los grados longitud que las separan? Luego obtendríamos también los grados de latitud reales, como la distancia de ese proyectado punto C’ al horizonte por el meridiano de Alejandría. Pues si no es así, ¿cómo habías pensado tú medir los 7º 30’ con los que resolver el triángulo?

4. Pregunta del plan antiguo

Aunque sea un tanto retorcida esta cuestión, que me está haciendo perder un tiempo precioso para estudiar, no huelga decir que esta pregunta no la ha presentado Goldáraz, sino una alumna, y él se ha limitado a tratar de orientarnos.
Última Edición: 08 Dic 2010 14:47 por Kierkegaard.
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Re: Rodas, Alejandría y Canopus. El problema de Posidonio 10 Dic 2010 22:11 #564

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Empiezo por el final de tu mensaje, Kierkegaard. Cuando hice esta asignatura (curso 2007-2008) Goldáraz estuvo colgando en el curso virtual muchas preguntas de exámenes del plan antiguo (o antiquísimo, al ritmo que cambian en España los planes de estudios). Eran del estilo de ésta, así que creí que procedía de ahí la pregunta; siempre pensé que se alejaban bastante del planteamiento actual de la asignatura y, como tú dices, más bien producían dispersión en el estudio; de ahí mi observación. Basta una revisión de los exámenes en UNED Calatayud para darse cuenta de que en el plan actual las preguntas son de otra índole.

Tal y como vi esta asignatura cuando la cursé, lo que intentan los profesores es que el alumno entienda la “visión científica del mundo” y su evolución a lo largo de la historia. Y por visión científica entienden “visión matematizada” del mundo, visión cuantitativa y no cualitativa, para diferenciarla de lo que se suele entender hoy que puede ser una “visión filosófica” del mundo. Y ése es el interés que creo yo que tienen en esta asignatura los cálculos de Eratóstenes, Aristarco o Posidonio. Como tú sabes muy bien, Kierkegaard, toda modelización matemática de la parcela de la realidad que sea, conlleva un reduccionismo, una aproximación, pues la realidad no son matemáticas, aunque la reduzcamos a matemáticas. Dicho esto, creo que es evidente que lo que se trataría con una pregunta de este estilo (que sería demasiado concreta para una asignatura de un solo curso, como dije en mi anterior mensaje) es ver si el alumno entiende la “reducción matemática del mundo” que hacía Posidonio. Si sólo se tratara de memorizar datos, bastaría con preguntar en qué consistió el cálculo de Posidonio, y cualquier alumno “memorieta” podría haber contestado reproduciendo literalmente lo que dice el libro, sin haber entendido el “modelo geométrico” del mundo implicado en el cálculo. Al preguntar ¿cómo se modificarían los cálculos de Posidonio dado que Rodas y Alejandría están en distinto meridiano? el profesor Solís sabrá por la contestación si el alumno ha captado el modelo geométrico que tenía en mente Posidonio.

Pero como parece que tu interés va más allá de lo que es el contenido de la asignatura, vamos con ello. Teniendo en cuenta la gran cantidad de supuestos simplificadores del modelo de Posidonio, no parece demasiado grosero despreciar la curvatura de la superficie terrestre. Habría que hacer los cálculos, pero estoy seguro de que la desviación producida por hacer recto lo curvo (teniendo en cuenta que Alejandría y Rodas no están tan lejos, la curvatura no es mucha y se aproxima bastante a una recta) es muchísimo menor que el error cometido en la medición del dato de partida: La distancia entre Rodas y Alejandría, de 5.000 estadios. Rodas y Alejandría están separadas por mar; ¿cómo se midió esa distancia? Incluso medida por tierra, mediante una cuerda, los errores de medición serían enormes (sin contar con los valles y montañas, que modifican la longitud hacia lo alto y hacia lo bajo), pero por mar supongo que sería algo así como: de Rodas a Alejandría, con calma chicha (pues el viento influiría una barbaridad y sin anemómetros sería imposible medir su fuerza) se tardan 3 días a fuerza de remo; si los remeros hacen tanta distancia en una hora, pues de Rodas a Alejandría hay tanta otra distancia. Cualquiera que haya navegado sabe que es imposible dirigir una nave en línea recta, hay que corregir continuamente la derrota, sea por errores del timonel, sea por el arrastre de la marejada. Luego, como era costumbre en la época, se redondea a una cifra “bonita”: 5.000 estadios. Así que tomar como rectangular la figura R-R’-A-A’ (donde A’ es el punto del paralelo de Alejandría donde éste se cruza con el meridiano de Rodas y R’ el punto del paralelo de Rodas donde éste se cruza con el meridiano de Alejandría) que es un trapecio, no supone un error muy grande. Y luego, la diferencia relativa entre la distancia R-A’ y la distancia R-A no puede cambiar mucho si se consideran como rectas o si se consideran como curvas (vuelvo a insistir en que en distancias no muy largas la curvatura es despreciable: de hecho, todos medimos distancias entre sitios sobre mapas y planos y las damos por buenas, con una aproximación suficientemente exacta para nuestros efectos). En ningún momento, por otro lado, propuse medir un arco en grados sobre la esfera de las estrellas fijas o la esfera de la trayectoria solar; mi propuesta era medir el arco sobre la superficie de la esfera terrestre: como la circunferencia tiene 360º (21.600’) y el día tiene 1.440 minutos, el Sol “recorre” aparentemente en el cielo, es decir, la línea del “terminator” sobre la superficie terrestre “avanza”, 15’ (angulares) cada minuto horario. Si, por seguir la cifra arbitraria que propuse, la diferencia entre la puesta del Sol en Rodas y en Alejandría es de 10 minutos de tiempo, la diferencia de longitud entre ambas ciudades será de 150’, es decir, de 2º 30’.

Sobre la sincronía, lo que habría que tomar como referencia es el momento de desaparición del último rayo de sol (no toda la puesta de sol, que dura minutos, como dices). Los problemas de sincronización de la medición de la puesta de Sol y de la altitud de Canopus en Rodas y Alejandría no son los mismos. Pues para saber los grados de diferencia entre el paralelo de Rodas y el de Alejandría basta con medir la altura de Canopus en el cielo en un momento determinado contado, por ejemplo, desde la puesta del Sol, y eso aunque no estén en el mismo meridiano. Aunque el Sol no se ponga a la misma hora en Rodas y en Alejandría (al estar en diferentes meridianos estas dos ciudades), basta con medir la altura de Canopus a la misma hora relativa, no en el mismo momento en sentido absoluto. Así no se medirá a la misma hora, pero sí a la misma hora relativa según el meridiano de cada ciudad. En efecto, la diferencia observada de altura de Canopus de 7º 30’ sólo sirve si ha sido tomada en el mismo momento, pues el giro de la Tierra sobre sí misma hace que Canopus tenga un movimiento aparente en el cielo (girando alrededor de la estrella polar en el hemisferio norte), por lo que si las mediciones en Rodas y en Alejandría no se hacen en el mismo momento, hay que tener en cuenta el movimiento de Canopus en el cielo (como bien apuntas tú mismo al final de este apartado).

El problema de sincronización de la medición de la puesta del Sol es más complejo. Si entramos en el terreno de las hipótesis, podemos suponer que Posidonio encargó a un marinero que, con un reloj de arena (o una clepsidra) a la que se ha dado la vuelta justo en el momento de la puesta de Sol en Rodas, lo lleve a Alejandría, donde se detiene el reloj justo al ponerse el Sol en esta ciudad (si ha habido que darle la vuelta al reloj más de una vez, basta con que el marinero informe de cuántas vueltas le ha dado). Entonces, o despreciamos el día o dos que suponemos dura el viaje, o ajustamos el tiempo que proceda según el acortamiento (o alargamiento, dependiendo de en qué época del año hagamos la medición) proporcional del día que se haya producido durante la duración del viaje.

Propuse la medición del tiempo en el equinoccio de primavera porque en esa fecha el día dura lo mismo que la noche en todo el hemisferio norte, y, por lo tanto, dura lo mismo en Alejandría que en Rodas, como en cualquier latitud del hemisferio norte; si se hace en otra fecha hay que ajustar también los tiempos para tomar en consideración la distinta duración del día en cada latitud.

La cuestión, no obstante, sería: ¿cómo sabemos (sin un método -el que sea- de sincronización horaria) que Alejandría y Rodas están en distinto meridiano? Y si lo sabemos es que sabemos cuál es la diferencia entre sus longitudes. Por lo tanto, no es eso lo que se preguntaba en el examen, pues ya va implícito en el enunciado que eso es un dato conocido. Insisto en que lo importante de esa pregunta de examen es conocer el modelo geométrico del universo subyacente en la medición de Posidonio.
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Re: Rodas, Alejandría y Canopus. El problema de Posidonio 13 Dic 2010 10:29 #567

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De acuerdo con que las intervenciones de Goldáraz puedan ser así. De momento no me lo ha parecido, pero está claro que las preguntas del examen que espero son de otra índole y así las estudiaré. Esto simplemente ha sido un empeño tonto por resolver este juego matemático, más que físico.

Vaya por delante que no me parece demasiado grosero despreciar la curvatura de la Tierra. Evidentemente la distancia entre Rodas y Alejandría tuvo que llevar un error mucho mayor. Pero como te digo, mi planteamiento es más matemático que físico, y doy por bueno ese dato, como tú das el que Alejandría esté en diferente meridiano. Pero fíjate que Posidonio, en su demostración geométrica, no hace aproximaciones, sino sólo en los datos de partida. Él no puede permitirse despreciar la curvatura de la Tierra, entre otras cosas porque desconoce el radio. Por lo que, supuestos sus datos de partida, busca un método irrefutablemente exacto. Por eso a mí me parecía que era correcto – e interesante – tratar de buscar un mecanismo que, a parte de propagar los errores de partida, no introduzca nuevos por aproximaciones geométricas que no son exactas.
Nolano escribió:
En ningún momento, por otro lado, propuse medir un arco en grados sobre la esfera de las estrellas fijas o la esfera de la trayectoria solar; mi propuesta era medir el arco sobre la superficie de la esfera terrestre: como la circunferencia tiene 360º (21.600’) y el día tiene 1.440 minutos, el Sol “recorre” aparentemente en el cielo, es decir, la línea del “terminator” sobre la superficie terrestre “avanza”, 15’ (angulares) cada minuto horario. Si, por seguir la cifra arbitraria que propuse, la diferencia entre la puesta del Sol en Rodas y en Alejandría es de 10 minutos de tiempo, la diferencia de longitud entre ambas ciudades será de 150’, es decir, de 2º 30’.
A mí, hacer esto que propones me parece precisamente medir un arco en grados […] sobre la esfera de la trayectoria solar. Al fin y al cabo estás siguiendo la trayectoria del Sol aunque sea con el terminator, que es proyección de la misma. Al final el ángulo es idéntico. El asunto es, como decía, que ese desfase en el movimiento debido a la pura longitud, no puede medirse simplemente midiendo cuánto tiempo tarda en ponerse el Sol en Alejandría desde que se puso en Rodas. Porque, ¿en qué consiste ponerse el Sol? Su posición varía entre Rodas y Alejandría con un compuesto entre longitud y latitud. Y para poder hacer la medida de Posidonio es preciso distinguir entre ambas. Por eso habría que descomponerlo, teniendo en cuenta la diferente inclinación del Sol en ambas latitudes, como ya comenté en mi mensaje anterior, y entonces sí, proyectar y suponer a qué altura puede decirse que el Sol se ha puesto: podría darse el caso, por la inclinación a una latitud más norte, que el Sol pareciese ya acostado y en el Ecuador todavía no se hubiera acostado, supuestos los mismos msnm de ambos horizontes. Es decir que la trayectoria del Sol marca arcos iguales en tiempos iguales en los cielos de ambas ciudades, pero al querer medir su posición con respecto al horizonte, para ver la diferencia de latitud según propones, hay que tener en cuenta que incide en ella con diferente oblicuidad, lo que implica un error inexorable.

Efectivamente, el problema de sincronizar la medida del Sol y la Canopus es la misma si no se encuentran en el mismo meridiano, por lo que tu objeción es circular. Yo ya estaba en el problema :): La sincronía se resolvía usando el mismo meridiano – por eso Posidonio tuvo a bien suponer que estaban en el mismo, porque le simplificaba la vida. La sincronía es el primer problema irresoluble si no se comparte meridiano, y no entro en el terreno de las hipótesis alternativas físicas porque sería efectivamente perderse. Sigo con mi juego especulativo, porque hoy soy geómetra, no filósofo natural. Supongamos que ese escollo estuviera resuelto.

Si no me equivoco, la solución que propones en tu segundo mensaje es, por tanto, la que proponía desde un comienzo la compañera Jesica:
Supongo que habría que hacer los cálculos en el momento en que Rodas tuviera a Canopus en su meridiano y compararlo con las mediciones de cuando la estrella estuviera en el mismo meridiano que Alejandría, y no ya en el mismo momento de la estrella para las dos ciudades a la vez pues están en longitudes diferentes.
Medir eso, precisamente, es lo que yo proponía con mi hipotético movimiento de compás sobre el cielo, con la salvaguarda de que si te limitases a hacer esa medida, tendrías la diferencia de latitud, pero no la longitud, dato imprescindible para relacionarla con la distancia entre Rodas y Alejandría.
Nolano escribió:
La cuestión, no obstante, sería: ¿cómo sabemos (sin un método -el que sea- de sincronización horaria) que Alejandría y Rodas están en distinto meridiano? Y si lo sabemos es que sabemos cuál es la diferencia entre sus longitudes.
Sin embargo, creo que esa frase no es correcta: el dato conocido del examen es que están en diferente meridiano, es decir, su longitud es diferente. Pero no es un dato conocido cuál sea numéricamente esa diferencia.

Supuesto que se salva el escollo de la sincronía, con la propuesta que yo hacía no sólo obtenemos la latitud, sino también la longitud. Luego se trata de resolver el triángulo no euclidiano formado por los puntos R (Rodas), A (Alejandría), A’ (Proyección correcta de Alejandría sobre el meridiano de Rodas, a la misma latitud que Alejandría). Este triángulo tendría por coordenadas esféricas (que emplean latitudes y no colatitudes) las siguientes:

R (Rt, 0, 0)
A (Rt, θa, φa)
A’ (Rt, θa, 0)

Siendo Rt el radio de la Tierra (incógnita), θa la diferencia de latitud (que es dato medido como la altura de Canopus cuando ésta pasa por el meridiano de cada ciudad) y φa la diferencia de longitud (que es también dato medido como el arco entorno a la Polar que describe Canopus llevada hacia el meridiano de Alejandría en el mismo instante en que ésta pasara por el hemisferio de Rodas). Un dato más adicional: la distancia esférica entre R y A son 5.000 estadios.

Y, en lo que no he profundizado, es si este sistema de ecuaciones tiene solución y podría resolverse con la limpieza que pretendía Posidonio.

Tu última insistencia (Insisto en que lo importante de esa pregunta de examen es conocer el modelo geométrico del universo subyacente en la medición de Posidonio) revela cansancio por el problema que como ya te he reconocido es un tanto irrelevante para la asignatura, así que si quieres aquí lo dejamos.
Última Edición: 13 Dic 2010 10:33 por Kierkegaard.
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Re: Rodas, Alejandría y Canopus. El problema de Posidonio 13 Dic 2010 14:50 #572

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No hay cansancio por mi parte en esta cuestión; sólo quería manifestar cierta aprensión por la extensión que ha alcanzado este asunto, que posiblemente desborda los límites razonables de un foro de esta naturaleza y la paciencia de los demás foreros. Así que, si hay alguien más interesado en la cuestión, que lo diga y podemos seguir discutiéndolo. Si no, por mi parte, ya ha quedado planteado el problema con amplitud más que suficiente como para hacerse una idea de su dimensión e implicaciones.
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Última Edición: 13 Dic 2010 14:51 por Nolano.
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Re: Rodas, Alejandría y Canopus. El problema de Posidonio 13 Dic 2010 18:03 #576

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Estoy de acuerdo en dejar esta cuestión para no sobrepasar la paciencia de los demás foreros. Si alguien más estuviera interesado en la ella, más por divertirse que por otra cosa, podríamos intentar retomarlo y clarificarlo.
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