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TEMA: El "anumerismo"

Re: El "anumerismo" 08 Abr 2011 21:24 #2274

  • Johan
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La puerta que abre el presentador añade información en el sentido de que entonces el concursante sabrá en qué puerta hay más probabilidades que esté el coche, pero por supuesto manteniendo la estrategia inicial de cambiar siempre (si quiere tener más probabilidades). La puerta abierta cambia las probabilidades que utiliza el concursante.
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Re: El "anumerismo" 09 Abr 2011 00:11 #2275

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Una pequeña observación a tu último comentario, Johan: la puerta abierta por el presentador no añade información alguna; o mejor dicho: no añade información relevante alguna. Me explico y aclaro dónde creo que estaba el error de mi primera exposición.

Para que un agente racional cambie de opción (en mi ejemplo, de la A a la B ) tiene que ocurrir alguna al menos de estas tres causas: 1) Un cambio en el estado del mundo (estado de la naturaleza); 2) Un cambio de la información disponible para asignar probabilidades a los distintos cursos de acción; 3) Un cambio en las opciones entre las que tiene que elegir. Ésta última es la que yo no había considerado en mi primer mensaje y que creo que es la que realmente se produce.

1) El mundo no cambia al abrir la puerta C el presentador del concurso: el premio seguirá estando en el mismo sitio en que estaba al iniciarse el juego.

2) La información relevante tampoco cambia. Parece que sí, pues el concursante sabe ahora que el premio no está tras la puerta C, cuando al empezar el juego y tomar la decisión A eso no lo sabía. Pero lo que sí sabía perfectamente cuando eligió A es que al menos en una de las dos puertas B o C no está el premio. Y eso lo sigue sabiendo después de que el presentador abra la puerta C. Saber que no está en la puerta C no cambia nada, es una información irrelevante, porque

3) lo que ahora tiene que decidir es otra cosa diferente a lo que tenía que decidir al inicio del juego. Al empezar tenía que elegir una alternativa entre 3 (probabilidad de cada una, 1/3). Lo que ahora le plantea el presentador no es eso, sino que elija entre dos alternativas: A o B+C, la primera con probabilidad 1/3 y la segunda con probabilidad 2/3. Es verdad que ahora el concursante sabe que C tiene probabilidad 0, pero a él no se le pregunta si elige C, sino si elige B+C, que tiene probabilidad 2/3.

Lo que falla, prima facie, no es la "intuición" no matemática. Lo que falla es que el concursante (o cualquier persona a la que le planteemos el problema de buenas a primeras) cree que está ante una nueva oportunidad de elegir entre las mismas opciones iniciales, pero teniendo ahora más información. Y, en realidad, el problema ante el que está es que se le plantea una nueva elección, distinta de la primera, y, sin embargo, dispone de la misma información relevante (aunque tiene más información, la nueva es irrelevante para la elección que tiene que hacer).
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No soy un profesor de Filosofía, que tenga que hacer reverencias ante la necedad de otro (Schopenhauer).


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Última Edición: 09 Abr 2011 00:19 por Nolano.
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Re: El "anumerismo" 09 Abr 2011 08:48 #2279

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El problema tiene miga, sí. No creo efectivamente que por no pillarlo, en un sentido o en otro, uno haya de ser "anumérico". Pero ya que estamos, yo sigo sin verlo como vosotros. La interpretación que me viene una y otra vez es la de que estáis cometiendo la falacia del jugador: creo que precisamente se está cometiendo el error de trasladar probabilidades entre instantes de tiempo que son independientes. La falacia es la misma que pensar que tras haber lanzado una moneda 3 veces y haber obtenido cara, la probabilidad de sacar cruz en la próxima es más de 1/2. La ley de los grandes números nos hace intuir que a la larga, si la moneda no está trucada y es equiprobable, los casos de cara y cruz se equilibrarán. Pero al ser en el infinito de los casos, nuestra intuición mesocósmica nos invita a pensar que desde nuestra corta perspectiva de unos pocos casos en un sentido ya se está alterando la probabilidad, lo cual es falso.

Del mismo modo, cuando el presentador abre la puerta C desde luego que añade información relevante para la nueva situación: es cierto que el concursante sabe seguro que el presentador abrirá una puerta vacía (por ejemplo la C, pero sólo como ejemplo, pues podría ser la B ). Que el presentador abrirá una puerta vacía no añade información a lo que sabe de antemano el concursante. Pero curiosamente sí lo hace que el presentador materialice la apertura de una puerta en concreto. Esa maniobra no es algo necesariamente aleatorio, pues la decisión del presentador viene condicionada por la primera que tomó el concursante. Pero el concursante no puede saber si la elección del presentador de destapar C o B ha sido obligada o aleatoria. Sin embargo, al concretarse la apertura de una puerta en particular creo que sí se aporta información relevante, pues el escenario cambia: la probabilidad de 2/3 que tenía el agregado de puertas B+C se rompe en el nuevo escenario, y la "subprobabilidad" que tenía C (1/3), se reparte entre A y B equiprobablemente pues el concursante no sabe por qué ha actuado de ese modo el presentador. Basta con pensar en qué pasaría si el concursante fuera reemplazado por un segundo concursante que llega al escenario justo después de que el presentador haya abierto la puerta C (o B ). ¿Dispondría de más información el primer concursante que el segundo? Y si no, ¿qué probabilidades habría de que el coche estuviera en cada puerta?.

Os reconozco que me sorprende, y me ha hecho dudar, que en Wikipedia se advierta explícitamente que la falacia del jugador no es aplicable al caso del problema Monty Hall, poniendo de ejemplo el lanzamiento de dos monedas, que quizá pueda ayudarnos a esclarecer el asunto:
Muchos acertijos engañan al lector haciéndolo creer que son un ejemplo de la falacia del jugador, como el problema de Monty Hall. De forma parecida, si lanzo dos monedas, digo que al menos una dio cara y pregunto cuál es la probabilidad de que ambas fueran cara, podría responderse que 50%. Esto es incorrecto: si digo que uno de los dos lanzamientos fue cara entonces estoy eliminando sólo el resultado cruz-cruz, dejando los resultados cara-cara, cruz-cara y cara-cruz. Estos tres resultados tienen la misma probabilidad, por lo que cara-cara sucede una de cada tres veces (33%). Si hubiese especificado que el primer lanzamiento fue cara, entonces las probabilidades de que el segundo (y por tanto ambos) fuese cara sería el 50%.
Para tratar estos escenarios, yo entiendo que es legítimo emplear el famoso y básico Teorema de Bayes sobre probabilidad condicionada:
Sea {A1,A3,...,Ai,...,An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B ) viene dada por la expresión:
donde:

P(Ai) son las probabilidades a priori.
P(B | Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai.
P(Ai | B ) son las probabilidades a posteriori.
Esto, efectivamente, es cierto en el caso de las dos monedas pues si

A = "Sacar 2 caras de una tirada"
B = "Sacar al menos 1 cara"

entonces:

P(B|A) = 1
P(A) = 1/4
P(B ) = 3/4

y por tanto:

P(A|B ) = 1/3

Pero si no lo entiendo mal, no veo que estemos en el mismo caso en el problema del Monty Hall pues a diferencia de las monedas que se lanzan a la vez (como podría entenderse que sucede con el coche, que sólo se coloca al principio de todo el proceso tras una puerta), el suceso "ganar el coche" pasa por dos instantes de tiempo diferentes en los que cabe ponderar la probabilidad de forma independiente. Así si los tres posibles casos en la distribución del coche entre las tres puertas, y pensando en que el concursante siempre elige A, los representamos de esta manera:

. A B C
X = 1 0 0 (El coche está en la puerta A y el concursante elige A)
Y = 0 1 0 (El coche está en la puerta B y el concursante elige A)
Z = 0 0 1 (El coche está en la puerta C y el concursante elige A)

y consideramos además los sucesos

Na = "El coche no está en la puerta A"
Nb = "El coche no está en la puerta B"
Nc = "El coche no está en la puerta C"

entonces podemos plantearnos el caso, por ejemplo, de haber elegido bien en primera instancia (caso X) y ver qué probabilidad hay de acertar si nos quedamos en ella cuando el presentador nos muestra que el coche no está en alguna de las otras puertas; pero ojo, no considerando su probabilidad agregada (Nb v Nc), pues eso sería como decir que el presentador sin mostrar ninguna otra puerta nos da a elegir cambiar nuestra primera opción, y eso evidentemente mantendría las probabilidades en 1/3 frente a 2/3; se trataría, sin embargo, de considerar los casos concretándolos ya en los que pueden ser por separado, es decir, que no estuviera en B o que no estuviera en C. En ese caso:

P(Nb|X) = 1
P(X) = 1/3
P(Nb ) = 2/3

y por tanto:

P(X|Ny) = 1/2

Los valores serían idénticos si en lugar de Nb fuera Nc.

Por el contrario, si nos ponemos en el caso de haber fallado (por ejemplo caso Y, aunque los números son idénticos a los del caso Z), entonces:

P(Nc|Y) = 1
P(Y) = 1/3
P(Nc) = 2/3

y por tanto:

P(Y|Nc) = 1/2

La clave aquí es que el jugador no puede distinguir con la maniobra del presentador si se encuentra en A, B o C, pero sí obtiene información relevante al saber si Na, Nb o Nc para su siguiente elección: eso aumenta equiprobablemente la probabilidad de las puertas aún posibles.
Última Edición: 09 Abr 2011 09:50 por Kierkegaard.
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Re: El "anumerismo" 09 Abr 2011 09:29 #2280

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Leyendo esta explicación, parece que efectivamente yo estoy en un error, pero aún no he descubierto dónde está el problema de la demostración que he hecho de la probabilidad condicionada... seguimos pensando :whistle:
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Re: El "anumerismo" 09 Abr 2011 09:57 #2281

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Ya he visto mi error: los casos X, Y, Z no son exhaustivos, y no representan el espacio muestral completo, y por tanto P(X) no es, como decía, 1/3 sino 1/9.

¡Bonito recorrido hasta aquí! :D Acabaré refutándome a mí mismo :P:
Basta con pensar en qué pasaría si el concursante fuera reemplazado por un segundo concursante que llega al escenario justo después de que el presentador haya abierto la puerta C (o B ). ¿Dispondría de más información el primer concursante que el segundo? Y si no, ¿qué probabilidades habría de que el coche estuviera en cada puerta?.
Si al segundo concursante no se le explicara que el coche podría haber caído en una puerta que ahora no está, efectivamente, dispondrá de menos información, y entonces errará prediciendo un 50% de probabilidades.

Si es que a veces es tan difícil, no ya librarse de ellos, sino ni siquiera identificar los prejuicios que no se han puesto en duda... ¡y hasta llegué a convencer a Rafel de que estaba equivocado! ¡E incluso a currarme una respuesta como la del mensaje 2279 cautivado por la razón que creía tener! :side:
Última Edición: 09 Abr 2011 10:04 por Kierkegaard.
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Re: El "anumerismo" 09 Abr 2011 21:31 #2290

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La discusión que hemos mantenido creo que es útil para reflexionar sobre una cuestión crucial en la filosofía de las ciencias sociales, pues parece que puede servir para cuestionar el principio epistemológico de muchos científicos sociales, especialmente en el campo de la ciencia económica: el principio de la actuación racional de los agentes sociales.

Esa racionalidad en el comportamiento puede ser cuestionada si atendemos a que: 1) el agente no tiene un conocimiento perfecto del estado del mundo, es decir, que toma decisiones en un entorno de incertidumbre; 2) el agente no siempre es capaz de plantear adecuadamente el problema al que se enfrenta y las probabilidades de obtener el resultado deseado para sus diferentes opciones; y 3) aunque no se dieran los dos factores anteriores, el agente puede adoptar sus decisiones por motivos diferentes a los de la racionalidad.

En el caso del concursante, ya hemos visto que la mayoría de la gente creería que en la segunda decisión (la de mantener su opción por la puerta elegida al principio o cambiar la puerta) se enfrenta a probabilidades del 50%, cuando no es así. Incluso después de bastante reflexión yo mismo continuaba pensando eso, hasta que lo pensé mejor. Por tanto, el agente difícilmente puede adoptar una decisión racional si no se hace cargo con precisión del problema al que se enfrenta. Y, finalmente, no hay que descartar, en nuestro ejemplo, que el concursante tome una decisión basada en motivos no racionales: tiene aversión al cambio y prefiere mantenerse en su primera opción, o cambia simplemente porque el concursante es un poco veleta y le gusta variar de costumbres con frecuencia, o el concursante se siente socialmente compelido a mantener una fidelidad a la opción previamente adoptada (una especie de honor en mantener su palabra), etc.

Todo lo anterior parece que justificaría abandonar el paradigma del agente racional en las ciencias sociales. Pero, por otro lado, no podemos olvidar el punto de vista de la epistemología naturalista. En efecto, puede que el concursante no adopte la decisión racionalmente correcta. Pero no es menos cierto que, si eso es así, el concursante que actúa contra lo racionalmente prescrito, sólo acertará una de cada tres veces, mientras que el elector racional acertará dos de cada tres veces. En términos de teoría de la evolución, el elector racional es más eficaz y, por tanto, obtendrá una ventaja de supervivencia y reproducción. Es decir, los electores irracionales irán, en el muy largo plazo, desapareciendo y sobrevivirán los electores racionales. En la especie se irán fijando los rasgos que permiten comprender a primera vista las probabilidades correctas para alcanzar el premio, e irán desapareciendo los rasgos que hacen al agente apreciar de forma incorrecta las probabilidades ante las situaciones que presenta el mundo. Así, la racionalidad estadística se acabará fijando como un a priori filogenético de la especie humana, pues la provee de una ventaja evolutiva.

Y reconozco que ese principio naturalista encierra una evidente circularidad.. Pero de eso ya he hablado en los hilos “Problemas filosóficos del naturalismo epistemológico” y "¿Es tautológica la teoría de la evolución?" en esta misma categoría de Teorías de la ciencia de este foro, a los que me remito.
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Última Edición: 10 Abr 2011 23:36 por Nolano.
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Re: El "anumerismo" 10 Abr 2011 22:25 #2300

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No acabo de ver clara la interpretación según la cual la segunda elección es diferente a la primera. Decir que en la segunda oportunidad las opciones son A y B+C es una abstracción para entender la solución, pero la pregunta del presentador, de hecho, es qué puerta quiere abrir.

Imaginemos la situación planteada por Kierkegaard en un mensaje anterior: un segundo concursante entra en el plató sin saber qué ha pasado justo después de la apertura de la primera puerta; él sólo ve tres puertas, una de ellas (pongamos la C) abierta y sin premio. Imagina que el presentador le pregunta: "¿Qué elige, segundo concursante: la opción A o la opción B+C?" Si lo que pasara fuera que "la segunda elección es distinta de la primera" este segundo concursante debería tener las mismas probabilidades que el primero; pero esto no es así: para el segundo concursante las probabilidades son realmente del 50%-50%, ya que le falta cierta información crucial.

La información extra de que dispone el primer concursante (la puerta que eligió primero) es tan relevante que para él las probabilidades son 1/3-2/3. La situación y la opción a elegir son las mismas para los dos. No es tan fácil. Lo que cambia primeramente no son las opciones (que siempre son sobre las puertas, y sobre las mismas puertas), sino las probabilidades que el jugador otorga a cada puerta en función de los acontecimientos.

El meollo del asunto, creo, estriba en que las probabilidades con las que el presentador elige la puerta a abrir (supongamos que esto lo elige él) están condicionadas a la primera elección del concursante. Ésta es, en todo caso, la información relevante, y justamente ésta es la que el concursante no tiene; de hecho, las probabilidades de 1/3 y 2/3 dependen de ésta probabilidad condicionada. De hecho, estás serán 1/3 y 2/3 sólo cuando la decisión del presentador (cuando puede hacerla) sea aleatoria; otras probabilidades condicionadas cambiarían estos valores de 1/3 y 2/3 (esto se ve claro en el listado de sucesos xyz y probabilidades asociadas que hice en un mensaje anterior).

Un saludo
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Re: El "anumerismo" 10 Abr 2011 22:44 #2301

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Johan dijo:
Imaginemos la situación planteada por Kierkegaard en un mensaje anterior: un segundo concursante entra en el plató sin saber qué ha pasado justo después de la apertura de la primera puerta; él sólo ve tres puertas, una de ellas (pongamos la C) abierta y sin premio. Imagina que el presentador le pregunta: "¿Qué elige, segundo concursante: la opción A o la opción B+C?" Si lo que pasara fuera que "la segunda elección es distinta de la primera" este segundo concursante debería tener las mismas probabilidades que el primero; pero esto no es así: para el segundo concursante las probabilidades son realmente del 50%-50%, ya que le falta cierta información crucial.

La situación planteada por Kierkegaard no varía sustancialmente respecto del ejemplo que puse yo en mi primer mensaje sobre dos concursantes aislados habiendo elegido el primero A y el segundo B, y a los que se les abre después la misma puerta (sin premio) C.

Creo que el meollo de la cuestión, efectivamente y como bien dices, Johan, es que el presentador no abre la puerta C aleatoriamente (sería así si el concursante hubiera elegido primero la puerta con premio, pero no si ha escogido una puerta sin premio).

Por eso, el primer concursante de mi ejemplo elige entre A o B+C; el segundo concursante de mi ejemplo entre B o A+C. Y el concursante del ejemplo de Kierkegaard elige entre A o B. Cada concursante se enfrenta a tres elecciones diferentes y es por eso que, aun actuando todos ellos racionalmente, elegirán opciones diferentes (salvo el tercero, que coincidirá con alguno de los dos primeros, pero por razones distintas a las de aquéllos).

Creo que la diferencia de tu planteamiento con el mío radica en que tú afirmas que "para el segundo concursante las probabilidades son realmente del 50%-50%". No es así: las probabilidades reales son 1 o 0 (aunque él no sepa cuál de las dos puertas lleva el 1 y cuál el 0). Lo que está 50-50 es la esperanza de alcanzar el premio para este concursante con la información de que dispone. Y, sin embargo, esa esperanza es diferente para los otros dos concursantes de mi ejemplo, y su esperanza respectiva es distinta e inversa para cada uno.

En todo caso, hay algo de discrepancia semántica (y no de fondo) en nuestras respectivas posturas. Tú planteas la cuestión como si los tres concursantes se enfrentaran al mismo problema, elegir entre A o B, con diferente información. Yo lo planteo como si los tres concursantes tuvieran la misma información, que C está vacía y el premio está o en A o en B, pero se enfrentan a diferente elección (A o B+C, B o A+C, A o B ).

La cuestión está en cómo llamemos a la decisión del presentador de abrir C. Para ti sería un hecho del mundo o estado de la naturaleza que los dos primeros concursantes conocen y el tercero no. Para mí eso no es un estado de la naturaleza, sino un cambio en las opciones que se presentan a los dos primeros concursantes, lo que hace que tengan que afrontar una nueva elección diferente de la primera, que era entre A, B o C. Sin embargo el tercer concursante, el del ejemplo de Kierkegaard, no tuvo que hacer una primera elección, sino que sólo se le plantea esta: A o B.

Pero llamar a una situación concreta como ésta enfrentarse a la misma elección con diferente información o llamarla enfrentarse a diferente elección con la misma información es una cuestión más nominal que real. Aunque sigo pensando que mi denominación de la situación es más correcta sencillamente porque el concursante ya sabe de antemano que la puerta que va a abrir el presentador es una que no contiene el premio. Por eso prefiero llamar a la segunda una elección nueva, porque la información de la que dispone el concursante ya la tenía al comenzar el juego, pero no pudo utilizarla en la primera elección, porque lo que se le preguntaba era si elegía entre tres puertas, no entre dos como se le preguntó la segunda vez. Pero no tenemos que confundir la pregunta formal que hace el presentador con la elección a la que realmente se enfrenta el concursante. Es precisamente esa divergencia entre la formulación lingüístico-formal de la pregunta y la semántica auténtica de la elección a la que se enfrenta el concursante lo que creo que engaña prima facie cuando se considera el problema sin la suficiente reflexión.
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Última Edición: 10 Abr 2011 23:39 por Nolano.
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Re: El "anumerismo" 11 Abr 2011 12:45 #2308

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En respuesta al mensaje de Nolano 2290:

Todos los apuntes que haces criticando el vienen muy a cuento de las carencias del modelo racional que comentábamos en este otro hilo sobre la filosofía de las ciencias sociales.
Nolano escribió:
En términos de teoría de la evolución, el elector racional es más eficaz y, por tanto, obtendrá una ventaja de supervivencia y reproducción. Es decir, los electores irracionales irán, en el muy largo plazo, desapareciendo y sobrevivirán los electores racionales. En la especie se irán fijando los rasgos que permiten comprender a primera vista las probabilidades correctas para alcanzar el premio, e irán desapareciendo los rasgos que hacen al agente apreciar de forma incorrecta las probabilidades ante las situaciones que presenta el mundo. Así, la racionalidad estadística se acabará fijando como un a priori filogenético de la especie humana, pues la provee de una ventaja evolutiva.
La verdad, me cuesta creer en ese intento desesperado por salvar el modelo racional a tan largo plazo: Naturalismo epistemológico no quiere decir biologismo epistemológico, y por tanto, son muchas las ciencias y los datos objetivos que muestran cómo el entorno cultural juega un peso tan decisivo que puede estar retardando e incluso eclipsando la capacidad selectiva biológica. Es decir, que no necesariamente – en el plazo que las ciencias sociales pueden tener relevancia – el modelo racional es válido, ni siquiera a la larga, porque es mucho suponer que los electores irracionales irán desapareciendo, amén a todos los factores que intervienen para la supervivencia.
Última Edición: 11 Abr 2011 12:45 por Kierkegaard.
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Re: El "anumerismo" 11 Abr 2011 13:48 #2309

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Otra variante curiosa de nuestro ejemplo del concursante. Supongamos que hay dos concursantes, 1 y 2, de forma similar a mi ejemplo del primer mensaje, pero que, ahora, se pueden ver y concursan a la vez. El presentador les ofrece tres puertas a elegir una, y en las que en sólo una de ellas hay premio. Los concursantes eligen una puerta pero la escriben en una papeleta cerrada cuyo contenido no conoce el otro concursante y se la entregan al presentador; y, entonces, éste, hace pública la elección de cada concursante. Las reglas del juego son que, si los dos escogen la misma puerta, el presentador abrirá, de las dos no elegidas, una que no tenga premio y dará a los concursantes la oportunidad de cambiar de puerta o seguir con la que eligieron. Si los dos concursantes no eligen la misma puerta, el presentador abrirá la puerta no elegida por ninguno de ambos; si contiene el premio, los dos concursantes han perdido; pero si no contiene el premio, los concursantes tienen la oportunidad de cambiar de puerta o seguir con la que eligieron al comienzo. Los concursantes pueden elegir en esta segunda ronda sin limitación alguna, pudiendo elegir la misma puerta que el otro concursante, pues si un concursante gana se lleva el premio y, si ganan los dos, se lleva un premio íntegro cada uno.

La cuestión es la siguiente: supongamos que el concursante 1 ha elegido la puerta A y el concursante 2 la puerta B. El presentador abre la puerta C y ésta no contiene nada, así que el premio está en A o en B. Entonces el presentador les pregunta si mantienen su elección o si la cambian.

En la primera formulación del problema, donde sólo concursaba una persona, hemos llegado a la conclusión de que la opción racional era cambiar de puerta. Según eso, si 1 y 2 jugaran solos, el primero elegiría B y el segundo A, pues son opciones preferibles. Pero si están jugando a la vez, como lo he planteado, ¿realmente la probabilidad para ambos, al cambiar de puerta es del doble que si se mantienen en la elección original? ¿Cómo sería posible que para el concursante 1 la esperanza, si elige B, sea de 2/3 y para el concursante 2 sea de 2/3 la esperanza si elige A? El estado del mundo es idéntico para ambos y la información de que disponen, también es la misma; entonces, ¿por qué se enfrentan ambos a esperanzas diferentes? ¿No parece que en este caso cada uno de los concursantes más bien se enfrenta a esperanzas del 50% para cada opción (mantenerse o cambiar de puerta)?
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Última Edición: 12 Abr 2011 13:10 por Nolano.
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