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TEMA: Una pregunta sobre lógica intuicionista

Una pregunta sobre lógica intuicionista 04 Sep 2011 08:32 #3798

  • Kierkegaard
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Una pregunta de última hora. A propósito de la lógica intuicionista, en la página 136 del libro se dice:
No podemos eliminar la doble negación con generalidad. Por ejemplo ¬¬¬α→¬α es un teorema intuicionista. Esto es posible porque el consecuente tiene como signo lógico principal una negación, que podemos introducir, pero no eliminar del cálculo. A partir de ¬¬¬α podemos suponer α y obtener ¬¬α, que entra en contradicción con ¬¬¬α; esta contradicción nos permite eliminar el supuesto (α) afirmando su negación: ¬α. Pero ¬¬α→α no se puede probar, pues a partir de ¬¬α y del supuesto ¬α podemos obtener una contradicción, pero lo único que esto no autoriza es [a] afirmar de nuevo ¬¬α.
Entiendo el razonamiento pero ¿cómo se puede obtener ¬¬α a partir de ¬¬¬α y el supuesto α? ¿cuál es el desarrollo análogo en el caso de ¬¬α y ¬α?
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Re: Una pregunta sobre lógica intuicionista 04 Sep 2011 12:17 #3800

  • Nolano
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Tu pregunta es comprensible pues en la Addenda de la asignatura esa cuestión queda bastante borrosa. Para mi trabajo utilicé otros libros, pero en ellos no había mayores precisiones sobre esta cuestión. Pero te aclaro cómo veo yo este asunto.

Uno de los puntos de partida del intuicionismo lógico es sustituir las “condiciones de verdad” por las “condiciones de afirmabilidad”. Yo puedo decir la proposición “la nieve es blanca”, y entonces en las tablas lógico-semánticas le asignaré el valor veritativo “1”, porque puedo afirmar eso; o puedo decir “la nieve no es blanca”, y le asignaré el valor “0” de falsedad. Pero hay innumerables proposiciones a las que no podré asignar valor veritativo: “Dios existe”, “la partícula subatómica a, con un momento b está en la posición c”. Como no puedo demostrar (afirmar) esas proposiciones, no les puedo asignar un valor veritativo de “1” o de “0”, y no puedo, respecto de ellas, dar validez al teorema de tercero excluido “p v ¬p”.

Naturalmente, si utilizo la sintáctica del sistema de deducción natural de Gentzen, siempre podría demostrar el teorema de tercero excluido; y eso es así porque dispongo de la regla de eliminación de la negación (¬¬p → p). Por eso la lógica intuicionista rechaza esa regla de eliminación de la negación a través de la doble negación.

Pero esa intepretación de la negación como “no puedo afirmar que p” (que no es lo mismo que la tradicional “p es falso”) sólo se refiere a la primera negación de la cadena de negaciones, pues sería absurdo interpretar “¬¬p” como “no puedo afirmar que no puedo afirmar que p”; y “¬¬p” se interpreta como “no puedo afirmar que p es falso”. Por eso, la segunda y siguientes negaciones de la cadena se interpretan del modo tradicional y “¬¬¬p” significa “no puedo afirmar que no es verdad que no es verdad que p”, o, lo que es lo mismo: “no puedo afirmar que p”. Por eso se pueden eliminar, por pares, las negaciones subsiguientes en una cadena de negaciones, pero nunca la primera negación, que es ineliminable.
Bin ich doch kein Philosophieprofessor, der nöthig hätte, vor dem Unverstande des andern Bücklinge zu machen.
No soy un profesor de Filosofía, que tenga que hacer reverencias ante la necedad de otro (Schopenhauer).


Jesús M. Morote
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Última Edición: 04 Sep 2011 12:21 por Moderador.
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Re: Una pregunta sobre lógica intuicionista 04 Sep 2011 15:43 #3806

  • Kierkegaard
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Gracias por el intento de respuesta, pero entiendo que esto no es sino otro enfoque desde el que explicar qué implica a nivel de cálculo el rechazo de la lógica intuicionista a la regla de eliminación de la negación. Otra forma para retenerlo sería simplemente considerar que al "sumarle" α a ¬¬¬α, "queda" ¬¬α y de ahí la contradicción ¬(¬¬α) ^ ¬¬α. En el segundo caso, le "sumaríamos" ¬α a ¬¬α, "quedando" ¬¬¬α, que de nuevo llegaría a la contradicción ¬¬α ^ ¬(¬¬α). En ambos casos las contradicciones nos obligarían a negar los supuestos introducidos ad hoc (α y ¬α respectivamente, dando como resultado ¬α y ¬¬α).

Pero indudablemente esto no es más que una regla memorística y me interesaba la demostración concreta que es capaz de pasar de ¬¬¬α y α a ¬¬α en busca de esa contradicción.

El mecanismo por el que yo entiendo también la lógica intuicionista es por el de la dicotomía inocente/culpable. Obviando nuestra presunción de inocencia, no podemos afirmar ninguna de ambas cosas de nadie hasta que se demuestren, y por tanto sólo probar una de ellas, la inocencia por ejemplo, implicará negar la otra, es decir la culpabilidad (tal y como admite la lógica intuicionista, i→¬c, y como c→¬i, entonces i→¬¬i). Pero encontrar que no puede afirmarse una de ellas, por ejemplo la inocencia, no implica que uno sea culpable (¬i no implica c). De ahí viene la presunción de inocencia: aunque no pueda demostrarse la inocencia, ello no hace culpable. Y por eso - salvando las precisiones del Derecho - también, cuando no hay pruebas (suficientes), se absuelve a alguien declarando no que sea inocente sino que es "no culpable".

Aunque entiendo el fondo de tu razonamiento, estrictamente hablando, no veo qué hay de absurdo en decir “no puedo afirmar que no puedo afirmar que p” (1). Traduciéndolo al caso judicial:

Sea p = ser culpable

por tanto:

(1) = “no puedo afirmar que no puedo afirmar que sea culpable” (2)

Dado que “no puedo afirmar que sea culpable” = “no hay pruebas de su culpabilidad”, entonces:

(2) = “no puedo afirmar que no hay pruebas de su culpabilidad” (3)

Imaginando que (3) lo dice el fiscal, lo que se puede deducir es que o bien no las hay en absoluto, o bien es que aún no las ha encontrado, lo cual impide al juez concluir estrictamente que sea inocente, sino no culpable. Si le dejamos ir es porque ante la falta de pruebas introducimos como principio la presunción de inocencia forzando ¬c→i, lo que la estricta lógica intuicionista no aceptaría.

Sin embargo, en primer lugar, coincido en que tu otra traducción como "no puedo afirmar que es falso..." sería también válida, y en segundo lugar, comparto tu análisis que distingue el primer operador como principal de los demás.
Última Edición: 04 Sep 2011 15:45 por Kierkegaard.
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Re: Una pregunta sobre lógica intuicionista 04 Sep 2011 19:20 #3808

  • Nolano
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Lo que hay de “absurdo” en decir “no puedo afirmar que no puedo afirmar que p” (aunque quizá absurdo no sea el término más adecuado) es que nos conduce a un regreso al infinito: estaríamos utilizando un metalenguaje para hablar sobre otro metalenguaje, y así podríamos llegar al infinito, sin que nuestras proposiciones tuvieran sentido alguno real.

Por eso hay que dar dos sentidos diferentes a la negación. Porque hay un sentido, el de “no puedo afirmar que p”, que es una afirmación en un metalenguaje lógico sobre el lenguaje natural, y otro sentido de la negación, éste propio del lenguaje, que nos permite formalizar enunciados como “la nieve no es no-blanca”. “No puedo afirmar que la nieve no es blanca” incluye una doble negación, la primera de ellas metalingüísitica y la segunda lingüística (en cuanto es un enunciado sobre la realidad, y no sobre otro enunciado); en cambio, “no puedo afirmar que la nieve no es no blanca” incluye una primera negación lógica (metalingüística) y dos negaciones lingüísticas, pudiendo eliminarse estas dos últimas pero no la primera: “no puedo afrimar que la nieve es blanca”. Entonces, al eliminar las dos posteriores negaciones no estoy eliminando dos negaciónes en el sentido de operadores lógicos, sino simplificando la formalización lógica de un enunciado en el que dos negaciones se anulan (en cuanto a la formalización de una proposición, no en cuanto a la eliminación del operador lógico mediante una regla lógica de elminación de la negación).

Hay que tener en cuenta que en lógica intuicionista se puede incluso prescindir de la negación (como operador lógico) haciendo equivalente “¬p” a “p->Δ” (donde Δ simboliza un absurdo). De ahí que una cosa sea la negación lógica y otra la formalización de una frase como “la nieve no es negra”, donde la negación sólo tiene el valor de la constatación de una cuestión de hecho, y no que sea absurdo que la nieve sea negra.
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