Hola,
ksetram escribió:
Si las matemáticas son demostramente no empíricas, eso apunta a que son una construcción que existe en el mundo mismo, como algo que lo sobrevuela por todas partes, sin concretarse en ninguna. Efectivamente, representa quizás muy bien la “Idea” platónica. Para Platón lo abstracto es el origen y verdad de lo concreto y contingente. Lo visible y sensible, es simplemente una combinación de abstracciones. Y claro, la ciencia demostró que el mundo se basa en leyes, en abstracciones puras como la matemática. Entonces quizás tiene mucha pinta, de que sencillamente Platón siempre tuvo razón. Claro que existen de por sí las ideas, como formas estructurales del mundo, que están más allá de lo material y concreto; porque se trata de las leyes que mueven el mundo. La matemática es quizás un gran ejemplo de ésto.
Pues sí, es un enigma el que necesitemos las estructuras ideales de las matemáticas para comprender el mundo físico. La cuestión tiene que ver con el clásico y nunca resuelto problema de los universales: ¿existen o no existen? Si no existen, ¿por qué los necesitamos para comprender el mundo? No diría que Platón tenía razón, pero sí que el platonismo es una postura extrema pero legítima. De hecho, los matemáticos suelen tender al platonismo:
Para mi, y supongo que para otros matemáticos, hay otra realidad, que llamaré «realidad matemática», sobre cuya naturaleza no existe acuerdo tanto entre los matemáticos como entre los filósofos. Algunos mantienen que dicha «realidad» es «mental» y que de alguna forma la construimos, otros sostienen que tiene una existencia externa e independiente. Una persona que fuera capaz de dar una explicación convincente de la realidad matemática resolvería los problemas más difíciles de la metafísica. Si además en su explicación incluyese a la realidad física, resolvería todos ellos. No quisiera discutir ninguna de esas cuestiones aquí, incluso si me considerase competente para hacerlo, pero voy a exponer sin mayores explicaciones mi propia posición para evitar errores menores. Creo que la realidad matemática se encuentra fuera de nosotros y que nuestra misión es descubrirla u «observarla», y que los teoremas que nosotros demostramos y que grandilocuentemente describimos como «creaciones» nuestras, son simplemente las notas de nuestras observaciones. Este punto de vista ha sido mantenido de una forma u otra por muchos filósofos de elevada categoría, desde Platón hasta nuestros días, y yo utilizaré el lenguaje que resulta natural en una persona que mantiene esa posición. Un lector al que no le guste la filosofía puede cambiar el lenguaje, pero ello no afectará casi en nada a mis conclusiones.
G.H. Hardy,
Apología de un matemático
Alfredo escribió:
Considero justamente que la lógica es el fundamento de la matemática
Esa postura se llama logicismo en el contexto de la filosofía de las matemáticas. Los logicistas Frege y Russell dedicaron grandes esfuerzos a reducir las matemáticas a la lógica, pero fracasaron. Es verdad que (casi) toda la matemática se puede expresar en lógica de primer orden, pero es necesario introducir términos y axiomas para referirse a objetos matemáticos (números y conjuntos) y a sus propiedades. Esto es una formalización de las matemáticas, pero no es una reducción de las matemáticas a la lógica. Para lograr esa reducción habría que conseguir expresar las matemáticas en un sistema formal puramente lógico, como por ejemplo la lógica de predicados, sin utilizar además términos matemáticos primitivos, y eso hasta ahora nadie lo ha conseguido. Que sea posible formalizar las matemáticas es muy importante, pero no las fundamenta en la lógica. También es posible formalizar partes de la física, por ejemplo, von Neumann propuso una formalización de la mecánica cuántica y eso no quiere decir, por supuesto, que la mecánica cuántica se reduzca a lógica, ni tampoco quiere decir que el modelo de von Neumann sea correcto. El hecho es que no podemos definir los numeros naturales en términos lógicos, y eso en definitiva deja abiertas todas las preguntas sobre la naturaleza de las matemáticas: ¿qué son los números? ¿son entes reales o ideales, objetivos o subjetivos? ¿residen en un mundo platónico, o cuál es su estátus ontológico? ¿los construimos o los descubrimos? ¿los conocemos por aprendizaje o tenemos de ellos intuición innata?
Saludos.