Hola,

Considero justamente que la lógica es el fundamento de la matemática, en el sentido de prioridad ontológica. Voy a intentar precisarlo un poco más.

Lógica es un meta-saber en el sentido de que es un saber sobre otro saber que es el razonamiento, es así un saber reflexivo. Los modelos de inferencia, principio de no contradicción, método de reducción al absurdo, etc, son principios y métodos lógicos que proporcionan a la matemática, así como al resto de ciencias, y en nuestra vida "ordinaria" el andamiaje para elaborar con certeza sus conclusiones. Es, se puede decir, una filosofía primera de la ciencia. Así, nuestros viejos amigos los griegos iniciaron el paso del mito al logos para poder estudiar filosóficamente, racionalmente, el mundo y a nosotros mismos, pues tal como . De esta manera, opino que el logos se descubre por el hombre, pero que las matemáticas se inventan gracias al logos.

La matemática es un ejemplo de lo que podemos conseguir mediante la razón pura, sin auxilio de la experiencia, en terminos kantianos,"las proposiciones verdaderamente matemáticas son siempre juicios a priori, no empíricos, ya que conllevan necesidad" (Crítica de la Razón Pura). Y nuestra razón, a través del logos, es la que proporciona los principios de ese conocimiento a priori. Por ello, la lógica, entendida como razonamiento puro, antecede ontológicamente a los juicios propios de la matemática; es, por tanto, su fundamento. Esto es, antes de poder hacer matemáticas, física, cualquier ciencia, incluido nuestro propio discurso argumentativo, es conditio sine qua non disponer biológicamente insertado un código de funcionamiento lógico de nuestro pensar (una especie de codigo ensamblador en informática). Es por ello, por lo que defiendo que descubrimos la lógica cuando hacemos explícito ese código, y que gracias a él, aunque sea de forma implícita en la mayoría de casos, podemos inventar las matemáticas, la física, en definitiva, el mundo lógico.

Saludos,

[EDITO] Sobre la cita del comentario que relaciona la matemática como lógica tautológica, se encuentra en el libro "Conjeturas y Refutaciones" de Popper: “¿No pertenece más bien a la física una ciencia fáctica, y a la matemática pura, una rama de la lógica tautológica, como sostendría la escuela de Wittgenstein?"

Hola,

Muchas gracias por la referencia. La leeré cuando tenga un hueco. Asumiendo que la lógica es meta-conocimiento de las matemáticas, tampoco se infiere que se descubran ya que esto asume que forman parte de las condiciones a priori. Si uno entiende que no existe un noúmeno, sino solo el fenómeno, entonces uno encuentra las matemáticas como algo externo. De hecho, desde la ciencia moderna es más correcto el planteamiento fenomenológico porque no hace abundancia de hipótesis que es lo que ocurre con Kant.

Volviendo a lo primero, y citando de nuevo el teorema de Gödel, resulta que un sistema axiomático de primer orden no pueden fundamentar las matemáticas. Por tanto, si ningún sistema axiomático, como es la lógica, no es capaz de demostrar todas las verdades, se nos muestra pues bastante limitado para asumir que es fundamento ontológico.

Estos resultados de la lógica matemática moderna, a mi modo de ver, invalidan las perspectivas de las matemáticas de la antigüedad, o mejor dicho, las limitan. Es algo así como la filosofía de Kant, estaba desarrollada ex profeso para fundamentar la física de Newton. Muchos resultados científicos ha habido desde entonces. La fenomenología se hace cargo de la Teoría de la Relatividad, por ejemplo, y desde su corpus no se puede entender que las matemáticas son una invención humana.

Saludos

Abel Sainz-Serrano

Hola,

ksetram escribió: Pues sí, es un enigma el que necesitemos las estructuras ideales de las matemáticas para comprender el mundo físico. La cuestión tiene que ver con el clásico y nunca resuelto problema de los universales: ¿existen o no existen? Si no existen, ¿por qué los necesitamos para comprender el mundo? No diría que Platón tenía razón, pero sí que el platonismo es una postura extrema pero legítima. De hecho, los matemáticos suelen tender al platonismo:G.H. Hardy, Apología de un matemático


Alfredo escribió: Esa postura se llama logicismo en el contexto de la filosofía de las matemáticas. Los logicistas Frege y Russell dedicaron grandes esfuerzos a reducir las matemáticas a la lógica, pero fracasaron. Es verdad que (casi) toda la matemática se puede expresar en lógica de primer orden, pero es necesario introducir términos y axiomas para referirse a objetos matemáticos (números y conjuntos) y a sus propiedades. Esto es una formalización de las matemáticas, pero no es una reducción de las matemáticas a la lógica. Para lograr esa reducción habría que conseguir expresar las matemáticas en un sistema formal puramente lógico, como por ejemplo la lógica de predicados, sin utilizar además términos matemáticos primitivos, y eso hasta ahora nadie lo ha conseguido. Que sea posible formalizar las matemáticas es muy importante, pero no las fundamenta en la lógica. También es posible formalizar partes de la física, por ejemplo, von Neumann propuso una formalización de la mecánica cuántica y eso no quiere decir, por supuesto, que la mecánica cuántica se reduzca a lógica, ni tampoco quiere decir que el modelo de von Neumann sea correcto. El hecho es que no podemos definir los numeros naturales en términos lógicos, y eso en definitiva deja abiertas todas las preguntas sobre la naturaleza de las matemáticas: ¿qué son los números? ¿son entes reales o ideales, objetivos o subjetivos? ¿residen en un mundo platónico, o cuál es su estátus ontológico? ¿los construimos o los descubrimos? ¿los conocemos por aprendizaje o tenemos de ellos intuición innata?

Saludos.

Pedro Pablo escribió:
Estoy de acuerdo en que las matemáticas no son reducibles al lenguaje de la lógica, ni tampoco la física, tal como pretendió el positivismo lógico. A lo que me refiero con fundamentación no es reducción de una disciplina a otra, sino que la lógica, en el sentido clásico de logos es una característica a priori de nuestro intelecto que nos permite ver el mundo de una determinada manera, y por tanto de inventarlo "razonadamente", incluyendo las matemáticas. Sin logos, sin capacidad para razonar no habría siquiera el lenguaje, y esto tampoco implica que deba reducirse el lenguaje a formalización lógica.

Los axiomas de las matemáticas no son más que enunciados de los que no cabe demostración posible, y tampoco admiten predicados como verdaderos o falsos; son los que son y se aceptan intuitivamente, por consenso, pero tienen en su fondo mas que una cierta metafísica, o una ontología y una lógica fundamental sin la cual ya no podría proseguir con demostraciones necesarias y universalmente válida. Es, como decía en otro post, una especie de filosofía primera de toda ciencia, que todas las ciencias la necesitan pero sin ser ninguna de ellas en concreto. Así pues, la lógica, en el sentido que quiero darle de filosofía primera, es el terreno donde podemos elaborar todas nuestras ciencias. Esto no es muy distinto a lo que decían los estoicos: "la lógica es la cerca, que permite la fertilidad de la tierra dada por la física (y las matemáticas incluiría yo tambien), cuyos frutos de esa tierra sería la ética".

Saludos,

Hola,

Efectivamente, el logos al que te refieres, en un sentido más generalista, "el que es común a todos" no está relacionado directamente con la la lógica aunque etimológicamente es claro que es su origen. Hay una capacidad común para interaccionar, para la comprensión mutua, e incluye muchas cosas. No sé si sería una filosofía primera o más bien la esencia humana.

El logos, así entendido, estaría más relacionado con la psique, con las capacidades lingüísticas, lógico-matemáticas, sociales, emocionales, estéticas, etc, como un todo que las engloba y que permitiría descubrir la lógica y las matemáticas. Esta definición de logos, si lo entendemos así, sigue sin resolver si las matemáticas se tienen estructuralmente o se descubren fuera de nosotros.

Encuentro argumentos a favor y en contra de si las matemáticas se descubre, pero creo que los resultados de la ciencia moderna indican que están fuera. Pero también se puede argumentar que dichos desarrollos se basan en una epistemología que considera que está fuera y no dejará de ser una especie de argumento 'cherry picking'

Saludos

Abel

Si llamamos ciencia a una disciplina que se rige por el método científico, entonces las matemáticas no son ciencias. Yo diría que son otro método, el método matemático. Su coincidencia para explicar la naturaleza que nos rodea no es plena. Muchos objetos matemáticos no tienen su equivalente en la naturaleza, otros si. Disciplinas científicas como la física usan el método matemático como herramienta para el método científico, restringiendo este último al primero.