Buenas noches, estoy muy perdido con esta asignatura. ¿Me podrías pasar los apuntes? Tengo los dos libros básicos de la asignatura pero se me está haciendo cuesta arriba. Muchas gracias

Buenas noches, ¿me podríais pasar apuntes para lógica II? Ando muy perdido con la bibliografía.
Gracias

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Hola,

Más allá de entender las reglas de deducción natural, en lógica II sólo hace falta entender cómo funcionan los cuantificadores y la ampliación del alcance expresivo respecto a la lógica proposicional.

Es decir, que La teoría de la lógica proposicional y la de primer orden, tanto en la deducción natural, las reglas de deducción natural básicas o derivadas, como para la formación de contraejemplos, en los árboles semánticos, etc., sólo variará en el manejo de los cuantificadores.

Algunas de las adiciones a la parte teórica:

A diferencia de la lógica proposicional, que opera con proposiciones enteras como unidades indivisibles, la lógica de primer orden descompone proposiciones en sujetos y predicados, y permite el uso de cuantificadores. Esto permite la cuantificación sobre individuos en un dominio específico y la expresión de relaciones entre estos individuos mediante los predicados.

[Edición: para ilustrar esto, veamos 2 ejemplos:
una proposición de lógica proposicional como podría ser "llueve y hace frío" (P∧Q), cada parte de la conjunción (∧) es indivisible en cuanto a su contenido semántico.
En lógica de primer orden, podríamos tener 'Todos los humanos son mortales' (∀x(H(x)→M(x))) donde respectivamente:

• H(x) = 'x es humano"
• M(x) = 'x es mortal'

y la estructura de la sentencia se analiza en más detalle.

Algunas notas respecto a la sintaxis:


Las conectivas son las mismas: ¬ (negación), ∧ (y, o conjunción), ∨ (o, o disyunción), → (implicación), ↔ (si y solo si).

Los cuantificadores son: ∀ (el cuantificador universal, se lee: para todo) y ∃ (el cuantificador existencial se lee: existe).
Variables: representan objetos generales dentro del dominio (por convención: ...x,y,z).
Constantes: denotan objetos específicos (por convención: a,b,c...).
Funciones: mapean objetos a otros objetos (por ejemplo f(x) podría representar el padre de (x).

• *[Edición: a modo de aclaración, es muy raro ver (o no se ven) ejercicios en los exámenes o en los libros de Deaño o de Formas Lógicas(tengo los libros en alguna parte pero no recurro a ellos hace mucho aunque estoy cursando la asignatura, supongo que el estudio de la lógica es independiente de la bibliografía) que utilicen funciones y no recuerdo en ellos dónde se explica cómo una función y un predicado pueden interactuar en una fórmula como P(f(a)), donde f(a) podría ser interpretado como "el padre de a" y P(x) podría interpretarse como "x es alto". Es probable que Deaño lo explique y en Formas Lógicas no se explique. O que se haga o no se haga en ambos; en cualquier caso, es altamente probable que no haya funciones en los exámenes mayo-junio o septiembre.]

Predicados: son las propiedades o relaciones entre objetos (por ejempl: P(x) podría ser "x es azul", R(x,y) podría ser "x es más alto que y").

Formulas bien formadas (FBF):
Por aquí un desglose de las reglas fundamentales que deben cumplirse para tener FBFs:

Para las atómicas:
Predicado con términos: Si P es un predicado n-ario y t₁ ,…,t_n son términos, entonces P(t₁ ,…,t_n ) es una FBF.

De igualdad:
Si t₁ y t₂ son términos, entonces t₁ = t₂ es una FBF.

En las conectivas:

Negación: Si ϕ es una FBF, entonces ¬ϕ también lo es.

Para la conjunción, la disyunción, la implicación y el bicondicional: Si ϕ y ψ son FBFs, entonces ϕ∧ψ, ϕ∨ψ, ϕ→ψ, y ϕ↔ψ también son FBFs.

En cuantificadores:
Universal: Si ϕ es una FBF y x es una variable, entonces ∀xϕ es una FBF.
Existencial: Si ϕ es una FBF y x es una variable, entonces ∃xϕ es una FBF.

Transcripción de la tabla de reglas de deducción natural:
Eliminación de la conjunción (∧E)
Si tenemos P∧Q, entonces podemos inferir P y también Q.
Introducción de la conjunción (∧I)
Si tenemos P y Q como premisas separadas, podemos inferir P∧Q.
Introducción de la disyunción (∨I)
Si tenemos P, podemos inferir P∨Q para cualquier Q.
Eliminación de la disyunción (∨E)
Si tenemos P∨Q y, suponiendo P deducimos R, y suponiendo Q deducimos también R, entonces podemos concluir R.
Eliminación del condicional ( →E, el famoso Modus Ponens)
Si tenemos P→Q y P, entonces podemos inferir Q.
Introducción del condicional ( →I)
Si, asumiendo P como hipótesis, podemos deducir Q, entonces podemos concluir P→Q sin esa hipótesis.
Eliminación de la negación (¬E, Reducción al Absurdo)
Si la suposición de P lleva a una contradicción, podemos inferir ¬P.
Introducción de la negación (¬I)
Si deducir P lleva a una contradicción, podemos concluir¬P.
Eliminación de la bicondicional (↔E)
Si tenemos P↔Q, podemos inferir P→Q y Q→P.
Introducción de la bicondicional (↔I)
Si podemos demostrar P→Q y Q→P, entonces podemos concluir P↔Q.

Reglas derivadas:
Modus Tollendo Ponens (MTP)
Si tenemos P∨Q y ¬P, podemos inferir Q.
Modus Tollens
Si tenemos P→Q y ¬Q, podemos inferir ¬P.
Introducción de la Igualdad (RI=)
Cualquier objeto es igual a sí mismo, a=a.
Eliminación de la Igualdad (RE=)
Si x=y y ϕ(x) es verdadero, entonces ϕ(y) también lo es.
Introducción del Único (RI∃!)
Si ∀x∀y((ϕ(x)∧ϕ(y))→x=y) y ϕ(t) para algún t, entonces ιxϕ(x)=t.
Eliminación del Único (RE∃!)
Si t=ιxϕ(x) y ϕ(t) es verdadero, entonces podemos usar t en lugar de ιxϕ(x) en cualquier fórmula.
Reflexividad (RflI)
Cualquier objeto es igual a sí mismo.
Simetría (SimI)
Si a=b, entonces b=a.
Transitividad (TrI)
Si a=b y b=c, entonces a=c.
Eliminación de Igualdad en Predicados (EI₂)
RSi a=b y P(a), entonces P(b).
Sustitución por Igualdad (R sust=)
Si a=b, entonces cualquier fórmula que contenga a puede ser transformada en una fórmula válida sustituyendo a por b.

Interdefiniciones: [Edición: los predicados se suponen '[i]verdaderos[/i]'.]

Implicación a Conjunción(Interdef. →, ∧)
P→Q puede ser reescrito como ¬(P∧¬Q).
[Edición: estamos negando la única situación en la que la implicación falla, cuando P es verdadero y Q falso.]

Implicación a Disyunción (Interdef. →, ∨)
P→Q puede ser reescrito como ¬P∨Q.
[Edición: esto es así porque la unica situación donde no se cumple P→Q es cuando P es verdadero y Q falso; de modo que la implicación se sostiene si P es falso (¬P).]

Conjunción a Implicación (Interdef. ∧, →)
P∧Q puede ser reescrito como ¬(P→¬Q).
[Edición: negar que la implicación de que P implique ¬Q afirmamos que tanto P como Q deben ser verdaderos.]

Disyunción a Implicación (Interdef. ∨, →)
P∨Q puede ser reescrito como ¬P→Q.
[Edición: en esta implicación la falsedad (¬) de P implica la verdad de Q de la disyunción.

Conjunción y Disyunción (Interdef. ∧, ∨)
P∧Q puede ser reescrito como ¬(¬P∨¬Q).
[Edición: negar lo diametralmente opuesto a decir (1)P es verdadero y Q es verdadero es decir: (2)P es falso y Q es falso. Negar a (2) es equivalente a afirmar (1).

Disyunción y Conjunción (Interdef. ∨, ∧)
P∨Q puede ser reescrito como ¬(¬P∧¬Q).
[Edición: si estamos señalando que o P o Q son verdaderos, al negar que sea cierto que ambos sean falsos estamos señalando que uno de ellos es verdadero.

[Edito: en un sentido más amplio se pueden interpretar las transformaciones entre cuantificadores como interdefiniciones, por ejemplo si en:
¬∀xP(x)≡∃x¬P(x)

• ¬∀xP(x) = "no es cierto que P(x) sea verdadero para todo x"
• ∃x¬P(x) = "existe al menos un x tal que P(x) no es verdadero"

la equivalencia se sostiene afirmando que si bien no es verdad que algo sea el caso para todos los elementos debe haber al menos un elemento para el que no sea el caso, al igual que en:
¬∃xP(x)≡∀x¬P(x)

• ∃xP(x) = "no existe ningún x para el cual P(x) sea verdadero"
• ∀x¬P(x)

donde se dice que si no hay un elemento que cumpla P, entonces todos cumplen ¬P.
* Entender esta transformación o 'interdefinición' de los cuantificadores es una ayuda en la búsqueda de contraejemplos o en la verificación de propiedades.


Reglas para cuantificadores:
Introducción del Universal (RI∀)
Si ϕ(x) ha sido demostrado bajo la suposición deque x es arbitrario, entonces podemos generalizar a∀xϕ(x), siempre y cuando x no aparezca en supuestos no descartados o en premisas.

Eliminación del Universal (RE∀)
Si tenemos ∀xϕ(x), podemos sustituir x por cualquier término específico t, resultando en ϕ(t).

Introducción del Existencial (RI∃)
Si ϕ(t) es verdadero para algún término específico t, entonces podemos inferir ∃xϕ(x).

Eliminación del Existencial (RE∃)
Si tenemos ∃xϕ(x) y podemos demostrar ψ bajo la suposición de ϕ(x) para un x nuevo, entonces podemos inferir ψ, siempre y cuando x no aparezca en ψ ni en premisas no canceladas.

[Reglas avanzadas de Cuantificadores]
Fórmula Barcan (FB): □∀xϕ(x)→∀x□ϕ(x)
Se afirma que si es necesariamente que todos los individuos cumplen ϕ, entonces para cada individuo en particular, ϕ es necesariamente cierto.

Conversa de Barcan (CFB): ∀x□ϕ(x)→□∀xϕ(x)
Se afirma que si para cada individuo, ϕ es necesariamente cierto, entonces es necesariamente cierto que todos los individuos cumplen con ϕ.

Reglas de Skolemización: la skolemización es un proceso empleado para eliminar ∃ mediante introdución de funciones Skolem en teoría de la demostración y en la simplificación de fórmulas para resolución automática en lógica, veamos:
Dada una fórmula ∃xϕ(x,y), donde y es libre, la skolemización reemplaza x con una función f(y), resultando en ϕ(f(y),y). Así se elimina el cuantificador, bajo la suposición de que f es una función que 'elige' un x apropiado para cada y.


ECQ
Si P y ¬P son ambas verdaderas, entonces cualquier Q puede ser inferida, simbolizado como P,¬P⊢Q.
Cambio de cuantificadores (cambio de ariable)
Si tenemos ∀xP(x) o ∃xP(x), podemos reemplazar x por otra variable y que no esté en uso en P para obtener ∀yP(y) o ∃yP(y), respectivamente.


Notas para hacer árboles semánticos:
Respecto a los árboles semánticos de lógica I a efectos prácticos la única diferencia es también el tratamiento de los cuantificadores.
Por supuesto hay detalles un poco más técnicos, como el dominio de interpretación pero no son relevantes para la preparación de los exámenes, ya que en los exámenes los ejercicios no son complejos, sino eficientes.

Reglas para descomponer los cuantificadores en los árboles:
Para descomponer ∀ en ∀xP(x) se reemplaza x por un término constante y arbitrario [importante: que no haya aparecido antes en la rama.]

Y para descomponer ∃ en ∃xP(x) se introduce un término constante concreto, mostrando que "existe al menos un elemento tal que P es verdadero".

El procedimiento es el mismo que en lógica I:
negamos la fórmula de la que probamos su validez,
descomponemos aplicando las reglas para conectivas y cuantificadores hasta que ya no se pueda descomponer más
y evaluamos que, si bien todas las ramas terminan en contradicción se trata que la fórmula original (no su negación) es válida o si bien, alguna rama es consistente (no contiene contradicciones) el conjunto de fórmulas es satisfacible, es decir, tanto la fórmula original como su negación.

[Edición: en una fórmula cuantificada como ∀xP(x) reemplaza x por un término constante albitrario que no se encuentre en la rama del árbol (usualmente: a, b, c...). Por ejemplo: ∀xP(x) = Pa o también: ∀x(x>0) se transforma en a>0 al introducir la constante a.
Para el existencial ∃xP(x) donde al menos existe un elemento para el que P es verdadero se introduce una nueva constante específica no usado anteriormente en la misma rama: ∃x(x<0) pasa a: b<0.

Ejemplos (sencillos) de: un árbol semántico para casos donde todas las ramas conducen a contracciones y de otro árbol semántico donde al menos una rama permanecerá abierta.

Probemos mediante el método de árbol semántico: ∀x(P(x)→Q(x))→(∃xP(x)→∃xQ(x))

• Negamos la fórmula y queda: ¬(∀x(P(x)→Q(x))→(∃xP(x)→∃xQ(x))); empleamos Interdef. →, ∨: (A→B≡¬A∨B ) y su negación (¬(A→B )≡A∧¬B ), transformando la implicación en ¬A∨B y acto seguido la negación en A∧¬B.
• Descomponemos (la negación): esto nos da ∀x(P(x)→Q(x))∧¬(∃xP(x)→∃xQ(x)); y volvemos a plicar Interdef. →, ∨ para descomponer ¬(∃xP(x)→∃xQ(x)) en ∃xP(x)∧¬∃xQ(x).
• Introducimos constantes para descomponer los cuantificadores: para ∀x(P(x)→Q(x)), consideramos un término constante 'a' tal que si P(a) es verdadero entonces Q(a) debe ser verdadero. Para ∃xP(x), elegimos el mismo término 'a' demostrando P(a).
• Para ¬∃xQ(x), aplicamos ∀x¬Q(x) y especificamos que ¬Q(a) debe ser verdadero, usando la constante 'a' ya introducida.
• Evaluamos las contradicciones: P(a) implica Q(a) por la universalidad de ∀x(P(x)→Q(x)), pero al mismo tiempo, ¬Q(a) debe ser verdadero por ∀x¬Q(x), lo que resulta en una contradicción directa (Q(a) y ¬Q(a) no pueden ser ambos verdaderos).
• Como que encontramos una contradicción bajo la suposición inicial (la negación de la fórmula original), esto indica que la fórmula original es válida en todos los modelos posibles. Todas las ramas del árbol semántico llevan a contradicciones, confirmando la validez de la fórmula.

Saludos y ánimo, la lógica es una gran compañera.

Muchas gracias

Muchísimas gracias Germán por tu tiempo y por los ánimos...

Hola:

Pensando en si la lógica es una gran compañera, como dice el compañero Geiriz...

El caso es que después de haber superado LI y enfrascado ya en la preparación de la próxima convocatoria de LII, aún me sigo preguntando el motivo, aparte de avanzar en el Grado, de que esté estudiando esto. Y voy vislumbrando alguno que no me parece muy consistente de hecho.

Lo bueno, es que como decía el filósofo Carlos Fernández Liria, las matemáticas hacen que el mundo de las ideas de Platón sea asequible desde esta vida. Antes de que el cristianismo catapultase ese mundo a un más allá de esta vida.

De tal manera, sí considero a la lógica, como a las matemáticas, una inmersión en ese mundo eidético, y como tal una visita interesante. Pero la vida experiencial, se desarrolla a través del lenguaje natural, no del metalenguaje lógico. Y así, puede que lo mejor sea cuando dejas a esa compañera ideal y vuelves a las penurias y la problemática extenuantemente potencial que provoca la comunicación natural (pero que es una de las cosas que hacen que la vida valga la pena). Aunque para Platón la verdad era la idea, no el mundo natural. La idea de la palabra, no la palabra del lenguaje natural.

Y es que sigo sin ver la conexión entre el metalenguaje de la lógica y el lenguaje natural para una praxis mundana no académica. ¿Hay posibilidad de mejora en esa sensación de separación?

¿Se nota mucho que me está resultando un suplicio?

Un saludo.

Otro, por aquí. Persiguiendo conejos. Ánimo, Nos queda poco.

No os acompaño a Junio, sino que me centraré en el Tfg y lógica para septiembre.

Sí, vale, Platón, supongo, Zolaris. Después Aristóteles también le saca mucho partido al lenguaje, pensando su metafísica.

Que tengáis suerte y ánimo con la lógica!

Geiriz, como ha dicho Silclapa, la verdad es que no es suficiente con clickear un gracias, me separé el resumen, gracias.

zolaris escribió:
A ver si consigo dar un buen motivo para estudiar Lógica (I y II).

Tomo la referencia del libro de Luis Vega Reñón "La fauna de las falacias" (Trotta, 2013), pág. 54. Se refiere este a un estudio de Evans (1983), sobre la evaluación de argumentos, que arrojó los siguientes resultados:

Silogismo 1: Ningún perro policía es vicioso.
Algunos perros bien entrenados son viciosos.
Luego algunos perros bien entrenados no son perros policía.

Silogismo 2: Nada que sea nutritivo es caro.
Algunas pastillas de vitaminas son caras.
Luego algunas pastillas de vitaminas no son nutritivas.

Silogismo 3: Ningún producto adictivo es barato.
Algunos cigarrillos son baratos.
Luego algunos productos adictivos no son cigarrillos.

Silogismo 4: Ningún millonario trabaja duro.
Algunas personas ricas trabajan duro.
Luego algunos millonarios no son ricos.

El silogismo 1 es válido y el enunciado final es creíble. Según el estudio, el 89% de los encuestados aceptaron el razonamiento.

El silogismo 2 es válido pero el enunciado final es increíble. Según el estudio, solo el 56% de los encuestados aceptaron el razonamiento.

El silogismo 3 es inválido y el enunciado final es creíble. Según el estudio, el 71% de los encuestados aceptaron el razonamiento.

El silogismo 4 es inválido y el enunciado final es increíble. Según el estudio, solo el 10% de los encuestados aceptaron el razonamiento.

La conclusión del estudio es que la gente tiene cierto sesgo, de forma que si el resultado del silogismo es creíble tiende a aceptar el razonamiento, aunque sea inválido.

Pero lo que aquí nos interesa es el silogismo 3: el 71% de los encuestados, a pesar de que el razonamiento es inválido, lo dieron por bueno. Entonces mi argumento es el siguiente: ¿podemos tomar por filósofo (o aceptar como graduado en Filosofía) a alguien que no esté en el 29% de la población que sepa que ese argumento no sirve? Aún más: ¿podemos otorgar el título de Graduado en Filosofía a una persona que no sabe por qué ese argumento no es válido? Incluso aunque algunas personas pudieron no aceptar el razonamiento, ¿cuántos de ellos no saben dar razón de por qué es inaceptable? Un filósofo al que se le otorgue un título académico sin saber dar exacta cuenta de dónde está el fallo en la inferencia creo que no sería merecedor de tal título. Incluso en un Foro de Filosofía como este habría que pensar si se puede tomar en serio a un interlocutor que no sabe hacerlo. Detrás de cada argumento que se expone, aunque se haga, como es lo habitual, en lenguaje natural, hay una inferencia o varias que pueden o no ser válidas. Muchas de ellas se pueden "desmontar" fácilmente, acudiendo al sentido común, pero en realidad, en casos que presentan mayor dificultad (que suelen ser la mayoría y por donde se cuelan las falacias) la formalización lógica es una herramienta de incalculable valor para que el filósofo de verdad pueda detectar si hay "gato encerrado" en los argumentos que se exponen.

Un segundo motivo para estudiar y conocer bien la Lógica formal. Hay una abundante literatura filosófica que no se puede entender si no se disponen de herramientas adecuadas, como es la Lógica formal. Por ejemplo, una de las obras cumbres de la Filosofía del siglo XX es el Tractatus de Wittgenstein; y ese libro es incomprensible para quien no domine la Lógica formal. Ciertamente, hay personas cuyos intereses filosóficos le llevan por otros caminos. Por supuesto que no hay por qué compartir el sistema del Tractatus; pero para saber por qué no se comparte habrá que entenderlo bien.

Espero que esta pequeña aportación sirva de ayuda y acicate para los estudiantes de Filosofía que tienen la Lógica atravesada.

No pienso que fuese el cristianismo donde se escindiera el fundamento de la dimensión ideal o abstracta de la inteligencia a la propia idea de la continuidad o extensión de la vida tras la muerte.

Este dominio es casi totalmente heredado en el cristianismo no ya de Platón, sino de las religiones precedentes que muy probablemente también influyeron sobre el pensamiento de Platón.

En este se adoptaron y adaptaron conceptos de origen platónico sí, entre otros, pero desde reinterpretaciones ya rumiadas y secularizadas en el medioevo y la escolástica.

Totalmente de acuerdo.

Comparto firmemente lo que significa lo que dices en el paréntesis, es decir: que la comprensión de las cuestiones que acontecen en la realidad de las cosas y el mundo, donde los ámbitos de sentido y los contextos humanos y de conocimiento que se imbrican de forma compleja, se da en campos de sentido que tratamos en las lenguas naturales humanas, y que son en esencia el contenido de la vida, de la sabiduría y la filosofía, y caen bajo la experiencia.

Estoy de acuerdo aunque pienso que aprender a pensar y a entender como funciona el raciocinio para que se dé esta comprensión no se da en otro lugar desde el cual "haya que volver" a la vida real. Al igual que aprender matemáticas es practicar y practicar hasta entender casa paso antes de pasar al siguiente.

Es necesario entender bien por qué un razonamiento es erróneo y que esta <necesidad> y este <entender bien> tiene unos fundamentos formales, los cuales dominar brinda un esparcimiento y robustecimiento del pensamiento crítico evidentes que nos previene de errores en nuestras reflexiones cotidianas.

Es posible que no se vea conectado esto con la parte pasional del ejercicio filosófico, por el papel y el valor que tiene para uno las predilecciones y el estilo personal, pero es indispensable para que la filosofía especialmente salga adelante.

Si pensamos, por ejemplo, en la escritura de una obra de teatro clásico o actual (una obra seria) los dilemas existenciales, incluso las paradojas, misterios y conflictos de la naturaleza humana que integran están entendidos profundamente, de modo que su composición, aunque estos sean difusos, o confusos, es una estructura regida por principios de armonía y de claridad.
Construyen lo que es esencialmente un argumento: una secuencia de proposiciones lógicas que derivan de las anteriores mediante las reglas de la lógica, aunque esto sea estructural y tácito aquí.

Su efectividad práctica para desglosar este entendimiento no se limita, como digo, al ámbito académico y a las demostraciones en notación formal, sino que para la producción artística es también necesaria como forma subyacente.

Incluso en las cosmovisiones historico-culturales (religiosas) actúan las reglas de la lógica -usualmente revelando por el principio de explosión que no se sigue consistencia, al no hallarse ni la coherencia ni la verdad de todas las premisas de sus dogmas de fe y sus doctrinas. Pero oye, internamente procuran tener un grado de coherencia lógica.

Descuida, sí la hay. Quizá el aprender alguna lista de falacias lógicas y comprender bien por qué son razonamientos erróneos te acerque la mecánica del lenguaje formal a lo profundamente humano de su razón de ser y su papel en la comprensión y explicación de las experiencias humanas de las cosas y los sucesos en el mundo. Ánimo.

Edito: estos días en cuanto me libere un poco editaré el post de los "apuntes" y quitaré comentarios personales para dejar estrictamente el contenido de la asignatura, por si alguien quiere utilizarlos.