Te me adelantaste, Pedro Pablo.
Todo pasaría por interpretar que un camino trillado tiene cierto valor expositivo de las dependencias que una prueba elegante ya presupone.

Sí, claro, el alumno que ofrece la prueba más elegante demuestra más conocimientos y merece más nota. También es cierto que una prueba puede parecernos menos elegante o más difícil de comprender por falta de conocimientos.

Pero yo me refería a una prueba que, aunque sea muy simple y elegante, utilize instrumental muy potente que oculte el por qué del resultado incluso a los expertos que tienen los conocimientos requeridos para entender la demostración.

En programación, puede haber una solución a un problema que sea mucho más simple pero que haga mucho más difícil ver cuál es el mecanismo de la solución. Si muchas veces se prefiere una solución de ese tipo no es por su elegancia sino por ser menos costosa en términos computacionales, por utilizar menos espacio en memoria, etc. Pero a veces se prefiere una solución un poco más costosa pero más entendible porque luego el mantenimiento resulta más sencillo (es decir, para que el que ha creado el programa no sea el único que entienda el código).

No sé si puede suceder algo analógo en lógica o matemáticas, es decir, que haya una demostración muy simple y elegante pero en la que, aunque un experto pueda entender cada paso de la solución, sea muy difícil entender la idea que hay detrás, el por qué de ese resultado. Y me preguntaba si en matemáticas o en lógica puede llegar a valorarse más (no en términos de poner una nota a un alumno) esa demostración menos elegante pero más reveladora.

rdomenech31 escribió:
No, sentir que una demostración es elegante se parece mucho a sentir que es reveladora. Ser capaz de seguir una demostración paso a paso no es suficiente cognitivamente, porque todavía no "ves" que el teorema es evidente, el mal estudiante se queda en en eso, pero el buen estudiante va más allá y aspira a un verdadera comprensión, y el momento de esa "revelación" es lo que va asociado a sentimientos estéticos. Esta es la razón por la que quien no comprende las matemáticas las odia y quien las comprende le gustan. Aquí se ve que la comprensión matemática es muy diferente a su exposición formal, esta inevitablemente tiene que ser un hilo argumental de pasos lógicos, pero la verdadera comprensión es un proceso cognitivo bastante inefable, que se consigue dándole vueltas a la cabeza al problema, y que probablemente (aquí especulo) tiene que ver con procesos de integración de la información.

Puede, pero sigue siendo la interpretación que se hace de identificar entender mejor con hacer explícitos más pasos.
La prueba elegante presupone un aparato teórico. La prueba larga lo explícita. Pero al menos en lógica no creo que se revele en la larga un fudnamento logico nuevo intrínseco. Creo que es una cuestión didáctica, pedagógica. Un método pragmático.

Pedro Pablo escribió:
Exacto. De hecho, simplificando, habría dos vías de llegar a la demostración larga: por desconocimiento y operaciones mecánicas sesudas, o por un esfuerzo didáctico. Dicho de otro modo: comprendiendo o no los fundamentos teóricos implicados.

Pero eso, Pedro Pablo, seguramente requiere que en estadios iniciales se evalúe menos la simplicidad y más la comprensión o camino largo. Entiendo que esa es la razón por la cuál en el examen muchas veces se exigen deducciones naturales utilizando sólo reglas básicas. La estética de la simplicidad va necesariamente asociada a la comprensión del camino previo, cosa que los alumnos de lógica 1, al menos en mi caso, todavía no dominamos.

A mí en muchas ocasiones me ocurre que las reglas derivadas me solucionan problemas que con las reglas básicas me cuesta solucionar. Es decir, si puedo llegar a una conclusión aplicando (por ejemplo) la inferencia de la alternativa o una interdefinición de constantes, llegó a una solución a la que me costaría mucho más llegar desde reglas básicas. De hecho, uno de los esfuerzos más importantes que estoy haciendo es el de aprenderme los caminos que llevan de las reglas básicas a las reglas derivadas, porque muchas veces no sé cómo se llega. Como cuando en el colegio me daban la fórmula de la ecuación de segundo grado y la aplicaba de manera mecánica sin tener ni idea de lo que estaba haciendo.

leira89 escribió:
Geiriz lo ha expresado muchísimo mejor que yo.

Claro, en esta asignatura solo se trata de que el alumno adquiera unos conocimientos básicos, pero supongamos que alguien en medio de una inferencia añade varios pasos correctos pero innecesarios porque no los utiliza para llegar al resultado final. La inferencia es correcta, pero tiene pasos superfluos. ¿Eso se debe penalizar? Depende del criterio del profesor, pero bajar un poco la nota tiene sentido. Si la inferencia se puede hacer en 10 pasos y se hace en 50 no creo que el profesor le de la puntuación máxima.

leira89 escribió: Buena idea. Es lo que decía antes, el darle vueltas a la materia más allá de lo que ponen los libros es la mejor forma de mejorar su comprensión.

Pedro Pablo escribió:
Entoncces, ¿La belleza de las matemáticas viene de la sensación de comprensión? Entonces el valor de esa elegancia sería totalmente epistémico. ¿Se la puede llamar realmente belleza o es algo más parecido a la satisfacción que proporciona el conocimiento, al placer que obtenemos al comprender algo complejo?

Sí y no. La belleza de las pruebas matemáticas es el sentimiento del logro de comprenderlas, pero creo que le cuadra más llamarlo belleza que placer, porque se experimenta como una emoción desinteresada que despierta el objeto (la prueba), como una cualidad del objeto, y no como un deseo o necesidad mía que el objeto me satisface, aunque en el fondo sea eso. Además, la relación de la belleza matemática con la comprensión no es algo evidente, es mi teoría, pero no todos los matemáticos estarán de acuerdo. La belleza tiene que ver con la comprensión en tanto que ésta es un proceso cognitivo no discursivo, intuitivo, de elaboración inconsciente, algo así como reconocer la figura oculta en una de esa imágenes que ilustran la psicología de la Gestált. Comprender de verdad un teorema matemático no es seguir los pasos de una demostración formal, sino algo así como reconocer una pauta oculta que ilumina de repente una estructura más compleja, y ese reconocimiento lleva asociado una emoción que se proyecta en la prueba misma como belleza.