Pedro Pablo
La idea de ksetram de que las matemáticas son un ámbito de entidades metafísicas se llama platonismo. La idea de Heráclida de que las matemáticas son analíticas se llama logicismo. La idea de Futaki de que las matemáticas son un lenguaje se llama formalismo. Las tres son posturas legítimas en la filosofía de las matemáticas.
Brutal, o sea que no tenemos ni idea, pero apuntamos a posturas legítimas, que ya han dicho en la filosofía de las matemáticas, caray.
Pedro Pablo
Lo de la crisis vino por los conjuntos, considerados como el concepto fundamental de las matemáticas (más básico que el de número), pero que produce paradojas cuando se utiliza intuitivamente. (...) Segundo, porque no sabemos si la teoría de conjuntos es consistente (no conocemos que tenga contradicciones, pero no lo podemos demostrar). Esto es esencial, el proyecto formalista era construir las matemáticas sobre un sistema axiomático consistente, pero el segundo teorema de incompletitud de Gödel demostró que un sistema axiomático complejo no puede demostrar su propia consistencia.
En mi humilde opinión, la teoría de conjuntos tiene una relación directa con la estructura de la razón humana. Pongo un ejemplo: Intentemos preguntarnos filosóficamente cuál es la estructura metafísica objetiva, si es que existe, de la expresiön: "Esto es mejor que aquello". ¿Existe una estructura filosófica para esa expresión, que podamos mostrar mediante la teoría de conjuntos? En teoría de conjuntos, ¿cómo hacemos que un conjunto sea objetivamente y de puro derecho, demostradamente superior a otro? ¿Cuando un conjunto contiene a otro totalmente? En sentido estricto, creo que cuando todas las funciones del pequeño conjunto puede hacerlas el conjunto que lo abarca. Cuando algo comprende y abarca completamente a otra cosa y puede hacer su función totalmente, y hacer además otras funciones distintas, entonces ¿es superior de modo absoluto?
Creo que millones de ejemplos empíricos muestran la aplicación real de la teoría de conjuntos, y su coherencia con la lógica humana. Lástima que no se pueda demostrar a sí misma la teoría de Conjuntos, como dices.
Pedro Pablo
En las geometrías no euclidianas el teorema de Pitágoras es falso. ¿La geometría euclidiana es un buen modelo del espacio físico? Eso es algo que tiene que comprobarse empíricamente, de forma directa o indirecta. De hecho, en la teoría de la relatividad general el espacio-tiempo físico no es euclidiano en general.
Si no me equivoco, es curioso que la geometría euclidiana parece corresponderse con nuestra experiencia común y cotidiana como humanos. Si pensamos en las geometrías no euclidianas, también la matemática se infiltra ahí, al igual que si analizamos lo pequeño y subatómico, la matemática aparece también y en lo macroscópico igualmente. Entonces las matemáticas, madre mía, no parecen tener límite en cuanto a su capacidad ayudarnos a entender el mundo, prácticamente en cualquier dimensión de lo real o ciencia humana. Es que encima se encuentran también en las ciencias sociales. La manera en que las matemáticas sobrevuelan y se hallan en las ciencias, también se asimila un poco a Platón (llamaste platonismo a verlo así), y como ha explicado Xna, para Aristóteles: "La matemática se ocupará de realidades inmóviles y algunas de sus ramas, de realidades capaces de existir separadas de la materia". Al tiempo, la matemática se ocupa también de todo lo móvil y lo mide.
Creo que cuando decimos que las matemáticas son "un lenguaje", debemos también tener en cuenta que por sus atributos, son un lenguaje muy superior a los lenguajes naturales humanos: demostradamente por la enorme capacidad que muestran para entender el mundo. Es decir, es muy posible que las tres posturas legítimas sobre las matemáticas, puedan unirse de algún modo o mostrar que no son incompatibles supongo, no lo sé. Pero es muy interesante que existan al menos estos tres modos de filosofar las mates.