¿Dicen las matemáticas y la lógica algo sobre la realidad? ¿Tienen algún tipo de contenido ontológico? ¿Sigue la realidad las reglas de la lógica o las matemáticas?

En mi opinión, las matemáticas y la lógica no dicen nada sobre el mundo, sino que son únicamente construcciones abstractas que nosotros realizamos y que únicamente existen en nuestra mente. Otra cosa es que podamos utilizar las matemáticas para representar el funcionamiento de la realidad o que un determinado sistema lógico pueda servir para representar de manera aproximada, ciertas propiedades de nuestro lenguaje o de la forma en que nuestra mente organiza la información.

Si se cree que la lógica tiene valor metafísico, habrá que explicar de donde salen ciertas lógicas no clásicas como la lógica paraconsistente, que admite contradicciones verdaderas y que desde luego no refleja la forma en que pensamos. Si se cree que las matemáticas reflejan cómo es la realidad, habrá que explicar por qué podemos estudiarlas sin investigar la realidad. Si se las entiende al modo de Kant o de los intuicionistas habrá que explicar, por ejemplo, de qué tipo de intuición surgen las geometrías no euclídeas (desde luego no se basan en ninguna intuición espacial de la que nosotros seamos capaces).

Reespecto a la lógica estoy de acuerdo contigo, es una estructura formal vacía y por tanto no dice nada de la realidad. Las matemáticas son otra historia, y diría que tu pregunta es un problema que permanece abierto. Entre las cuestiones abiertas se me ocurren las siguientes:

1. ¿Cuál es el estátus ontológico de los objetos matemáticos fundamentales, los números y los conjuntos? La pregunta está relacionada con el problema de los universales.

2. ¿Se pueden reducir las matemáticas a la lógica? El intento de conseguirlo, el proyecto logicista de Frege y Russell, no tuvo éxito.

3. ¿Existe el conocimiento sintético a priori? Como sabemos, según Kant este es el tipo de conocimiento que proporcionan las matemáticas.

Pedro Pablo escribió:
Yo no creo que los objetos matemáticos existan fuera de nuestra mente, creo que son simples construcciones mentales, entes abstractos a los que atribuímos determinadas características. Claro que seguramente pienso eso porque con respecto al problema de los universales soy partidario de un nominalismo moderado.


Yo no creo que las matemáticas puedan reducirse a la lógica, creo los axiomas de que se parte no tienen por qué ser, en principio, reducibles a principios lógicos. Y creo que esos axiomas son en el fondo arbitrarios. Hemos elegido los que nos parecían más intuitivos pero nada nos impide elegir axiomas distintos siempre que sean consistentes, que al fin y al cabo es lo que se ha hecho en geometría para dar lugar a las geometrías no euclídeas. Si se tiene en cuenta esto creo que la cuestión del logicismo pierde algo de importancia. Si descubrimos que cierto conjunto de axiomas puede reducirse a la lógica, seguramente otro conjunto de axiomas que pudiéramos escoger no sería reducible.


Independientemente de que exista el conocimiento sintérico a priori o no (que yo creo que no), me parece difícil justificar las matemáticas de ese modo. ¿Cómo podríamos explicar de ese modo, por ejemplo, la geometría de Riemann?

Dejemos por el momento la geometría, para este tema es mejor tomar ejemplos de las ramas más fundamentales de las matemáticas: la aritmética o la teoría de conjuntos. Por ejemplo, la aritmética se suele formalizar mediante los axiomas de Peano. ¿En qué sentido dirías que los axiomas de Peano son arbitrarios? ¿Crees que se puede definir la aritmética de otro modo que sea esencialmente diferente?

Por lo que comentas calificaría tu postura de formalista. El formalismo entiende las matemáticas como estructuras formales que hacen abstracción de todo contenido semántico. Es una postura legítima (y probablemente es la postura más extendida), pero no se puede considerar la postura definitiva porque también fracasó como intento de fundamentar las matemáticas. El formalismo consiguió reducir lógicamente las matemáticas a la teoría axiomática de conjuntos, pero no sabemos si ese conjunto de axiomas es consistente, ni probablemente podamos saberlo, debido al segundo de los teoremas de incompletitud de Gödel. Por eso digo que la cuestión que planteas es un problema abierto, podemos tener opiniones subjetivas, pero realmente no tenemos la solución.

a) Sin las matemáticas, la física cae al suelo como ciencia predictiva. No podría predecir nada, porque no podría ni elaborar cantidades, ni dar resultados concretos de las fórmulas o leyes.
b) Las ciencias son tanto capaces de predecir mediante las matemáticas ciertos eventos del mundo, como de ayudarnos a crear enormes máquinas que funcionan. Si funcionan, no están en contradicción con el mundo, su creación no se basa en mera imaginación humana.
Sin que haya "algún tipo" de correlación entre las ciencias del humano y el propio mundo, parece imposible que la ciencia o las matemáticas pudiesen hacer ni a) ni b).

Es decir, cuando pensamos que las matemáticas son simplemente una formulación humana, falta quizás pensar las diferencias entre las matemáticas y la literatura (pues esta sí que es imaginación que no tiene por qué tener "algún tipo" de correlación demostrada con respecto del mundo). Sin algún tipo de correlación, aproximación, o asimilación entre las matemáticas y el mundo, me parece que no podríamos predecir mediante las matemáticas.
¿Por qué el mundo hace círculos aproximados y redes cúbicas moleculares? Creo que no es que las matemáticas inventen los cubos y los círculos, sino que los "encuentran", y estos existen además de algún modo (imperfecto si se quiere), en el mundo. Por cuestiones como esas, parece quizás claro que las matemáticas y el mundo han de tener cosas en común, algún tipo de aproximación entre ambas naturalezas.

Aunque no lo parezca, creo que las matemáticas sí que nos dicen cosas del mundo. Incluso aunque estén vacías de contenido empírico, creo que su estructura ha de tener algún tipo de similitud o aproximación con la estructura misma del mundo. El mundo no es ilógico, y aunque su lógica nos sobrepase, al parecer tenemos acceso (aunque limitado), a ciertos modos de su funcionamiento que nos son meras formas mentales humanas. Hay algo más ahí, aunque sea difícil entender en qué consiste.

Pedro Pablo escribió:
Bueno, claro que se puede, igual que en geometría. En realidad, eso es algo que ya se ha hecho. La aritmética de Presburger o la aritmética de Robinson o aritmética de Q son dos ejemplos de aritméticas distintas a la de Peano. Es cierto que los cambios que realizan no son radicales, pero en principio nada impediría crear una aritmética alternativa con cambios más profundos.

Yo no afirmo algo tan fuerte como lo que afirma el formalismo. El formalismo supone negar que los símbolos matemáticos hagan referencia a entidades abstractas (incluso aunque estas se entiendan como conceptos y no como entidades ontológicamente existentes), yo me limito a defender que las matemáticas son construcciones mentales y que, en caso de que sus símbolos tengan contenido semántico, estos no hacen referencia a nada que exista en el mundo.

Mensaje editado para corregir algunos errores.

ksetram escribió:
Estoy de acuerdo en que las ciencias hacen a) y b) por medio de las matemáticas pero no creo que ello implique que las matemáticas digan algo sobre el mundo. Desde luego las matemáticas pueden utilizarse para elaborar representaciones sobre el modo en que funciona el mundo, son un magnífico instrumento para representar regularidades, pero por si mismas nada nos dicen (si lo hicieran no sería necesaria la investigación empírica).


Es que no podemos predecir mediante las matemáticas, lo que hacemos es elaborar una teoría sobre el funcionamiento de determinado ámbito de la realidad y expresamos esas hipotéticas leyes por medio de las matemáticas. Si las predicciones no se cumplen no concluimos que las matemáticas esten equivocadas, sino que lo está nuestra teoría. Poir medio de las matemáticas podemos representar cualquier regularidad expresable cuantitativamente, se dé reaalmente o no. Son solo una herramienta para la ciencia.


Bueno, las figuras geométricas de geometrías no euclídeas no podemos ni siquiera imaginarlas visualmente. El hecho de que en la realidad haya cosas parecidas a las figuras propias de la geometría euclídea se debe a que al elaborar esa geometría se elaboró de modo que encajara con nuestra percepción del espacio. Es la geometría euclídea la que se parece a nuestra percepción de la realidad y no la realidad la que se parece a la geometría euclídea. Pero esa correspondencia es una cuestión empírica y, de hecho, la teoría de la relatividad utiliza la geometría de Riemann y no la Euclídea.

rdomenech31 escribió:
Los ejemplos que das son restricciones de la aritmética de Peano: definen el mismo conjunto de números naturales, pero permiten demostrar menos teoremas (y en ese sentido son menos satisfactorios, aunque pueden ser interesantes para la metamatemática). En sentido inverso, hay sistemas axiomáticos más potentes que el de Peano, por ejemplo cualquier versión de la teoría de conjuntos. Pero ninguno de ellos define los números naturales de manera distinta ni deduce propiedades diferentes, por eso te preguntaba qué arbitrariedad ves en los axiomas de Peano. No existen aritméticas alternativas a la de Peano en el mismo sentido que dices que hay geometrías alternativas a la de Euclides.

En realidad las propiedades de los números naturales son previas a cualquier sistema axiomático que formalice la aritmética. Estos sistemas tiene un interés teórico, pero no se usan en la práctica. Una proposición como "existen infinitos números primos" es una verdad objetiva que se puede demostrar, y se demuestra (a priori) con razonamiento natural sin apelar a ningún sistema axiomático.

Es cierto que no se han dado aritméticas alternativas que supongan diferencias radicales como en el caso de las geometrías, pero nada nos impide, en principio, cambiar un axioma por otro distinto.

Claro, los axiomas de Peano se han creado para la aritmética tal como ya se usaba previamente, que es la que tiene utilidad para nosotros, y es posible que cualquier cambio radical que hagamos en esos axiomas dé lugar a algo que ya no reconozcamos como aritmética y que por tanto no nos resulte interesante, pero ¿hay algo que impida en principio realizar esos cambios de axiomas?

La geometría puede servirnos para representar el espacio y es una cuestión empírica qué estructura geométrica nos va a resultar útil para ello, tal vez por eso resulta más útil e interesante crear geometrías radicalmente distintas pero no sucede lo mismo con la aritmética.

Mis conocimientos matemáticos son seguramente mucho más limitados que los tuyos, así que si en algún momento estoy diciendo alguna estupidez no tengas problema en decírmelo.

Claro, podrías cambiar un axioma por otro y estudiar la estructura matemática que define el nuevo sistema, si es que define alguna (si es que es consistente), pero esa estructura no sería la de los números naturales y su aritmética.

La diferencia de la aritmética con la geometría está en que los axiomas de Peano (u otros alternativos) no pretenden ser las reglas de construcción de un modelo matemático para la realidad física, cuya adecuación a esa realidad se pueda contrastar empíricamente, como en cierto modo se puede interpretar la geometría (por ejemplo, se puede comprobar que en las proximidades del Sol no se cumple el teorema de Pitágoras de la geometría euclidiana), sino que los números naturales son una realidad que ya conocemos de antemano y que investigamos a priori, y no mediante métodos empíricos. Por tanto, los axiomas de Peano no son interesantes porque con ellos definimos los números naturales (ya los conocemos sin necesidad de definirlos), sino que tienen el interés metamatemático de comprobar si es posible reducir la aritmética a un sistema axiomático. No será la aritmética la que esté obligada a someterse a un sistema axiomático, sino que serán los axiomas de Peano o los de la teoría de conjuntos los que tengan que rendir cuentas sobre si constituyen una buena formalización de la aritmética, y en esa discusión ya nos salimos del terreno de las matemáticas.

Los números naturales aparentemente se nos presentan ya dados como una realidad ideal independiente de nosotros, por eso no es nada fácil decir cuál es su naturaleza. Muchos matemáticos, especialmente los que se dedican a las matemáticas puras, tienen posturas platónicas, porque es difícil resistirse a la impresión de que cuando se investigan campos como la teoría de números se están haciendo descubrimientos sobre entidades ideales independientes. De ahí también el adjetivo "natural", los números naturales aparentemente ya están ahí, no parecen ser una construcción humana, como claramente sí lo son otros tipos de números (racionales, reales, complejos, etc.)

Tu opinión de que los objetos matemáticos son construcciones mentales (psicologismo) no explica por qué las matemáticas son objetivas. La proposición "existen infinitos números primos" es objetivamente verdadera, independientemente de cualquier mente.

El punto de vista dominante es el formalista, al menos en el sentido de que es el enfoque que ha orientado el desarrollo de las matemáticas modernas. De acuerdo con el formalismo, los números no son ni conceptos ni entes platónicos ni objetos lógicos, sino que constituyen una estructura formal. Cualquier cosa que sea formalmente equivalente a los números naturales son realmente los números naturales, aunque conceptualmente no lo parezca. Por ejemplo, desde la teoría de conjuntos se definen los números cardinales como clases de equivalencia de conjuntos coordinables, una definición muy poco intuitiva, pero que cumple su función de construir formalmente los números naturales y su aritmética, además de ampliarlos a los números transfinitos.

Sin embargo, el formalismo no es la última palabra, puesto que Gödel demostró que ningún sistema axiomático que formalice las matemáticas (por ejemplo la teoría de conjuntos) puede ser satisfactorio: no puede ser a la vez consistente y completo, y no puede demostrar su propia consistencia. Así que el problema de la naturaleza de las matemáticas continúa abierto.