Pero eso sólo en base 10, ¿no? La existencia de otras bases numéricas y su empleo como por ejemplo las que se usan con éxito en la informática (la base 2, base 8, o base 16), ¿por qué no ponen en duda esa aseveración que haces? ¿Existe una superioridad objetiva de la base 10 sobre las demás? ¿O diríamos que se emplea simplemente porque "funciona" mejor para determinadas cosas? Creo que esto, ¿podría poner en duda tu comentario? Lo ignoro.
Lo mismo ocurriría con los números primos. Parece que dejarían de ser algo objetivo, a menos que esté claro que sólo la aritmética en base 10 es la correcta en última instancia o la que permite asimilarse a la realidad. Porque si no es así, semejaría que los números naturales no podrían ser una idealidad independiente del humano, dado que serían un modo más, entre las otras bases. De otro modo, la filosofía de las matemáticas tendría que realizarse parece, buscando el elemento común entre todas las bases:

Por ejemplo. Creo que uno de los valores objetivos que presenta la matemática en todas las bases, es el principio de proporcionalidad. Porque la realidad en sentido ontológico, está hecha con proporcionalidades. Da igual la medida o cantidad a la que nos refiramos, las matemáticas nos permitirán establecer relaciones entre las proporciones de tamaño, temperatura, peso... Porque el mundo es ontológicamente así, proporcional en sus cantidades. Eso sí que parece ser un atributo ontológico objetivo que permite que las matemáticas puedan cuantificar. Es decir, el mundo mismo está cuantificado al margen de cualquier comprensión humana (pero si nos diese igual la base a emplear, se nos habría colado alguna cuestión meramente interpretativa).

**Si el mundo no estuviese cuantificado, caería, no se sostendría, no existiría porque carecería de coherencia interna y se habría autoanulado. Si cambiamos el tamaño, el peso o la intensidad de radiaciones del Sol, los planetas no existirían y así con todo. Se requiere una proporcionalidad adecuada o incluso precisa entre las intensidades y cantidades de las cosas. Igualmente ocurre con las constantes universales, que se basan en la proporcionalidad, y eso son hechos objetivos del mundo en sentido ontológico (aunque los podamos describir en distintas bases matemáticas persiste la proporcionalidad).

ksetram escribió:
Antes que nada te digo que mi comentario apuntaba a que una postura platónica es plausible y es muy intuitiva, pero no quería decir que yo la defienda, por eso decía "aparentemente".

Respecto a la base 10, se trata solo de un sistema de numeración. La aritmética es independiente del sistema de numeración. El número 7 es el mismo número 7 expresado en base 10 o en base 2, y un número es primo o es compuesto independientemente de la base con que se exprese. El utilizar base 10 es solo una convención, no es superior a otra base, y la razón de que la utilicemos es que tenemos 10 dedos. Estamos hablando de sistemas de numeración posicionales, pero los romanos tenían un sistema de numeración no posicional, menos eficaz (sumar y multiplicar con numeración romana es difícil). Los antiguos babilonios usaban un sistema posicional de base 60, del que todavía nos quedan residuos cuando medimos ángulos y tiempos. Las diversas culturas han utilizado distintos sistemas de numeración, pero todas tienen el mismo concepto de número, por eso es difícil defender que los números (los naturales) son una construcción o una invención.

Respecto a la relación de las matemáticas con la ontología, más que en la proporcionalidad (que me parece ya un concepto bastante elaborado) diría que está en la clásica categoría de cantidad. El mundo es múltiple, es plural: no hay una piedra, un caballo, un electrón, un lugar, un día, una noche, sino que hay muchas piedras, muchos caballos, muchos electrones, muchos lugares, muchos días, muchas noches. Sería realmente difícil imaginar un universo en el que existiera una sola instancia de cada objeto. Por eso comenté antes que la cuestión de la naturaleza de los entes matemáticos está relacionada con el problema de los universales.

Gracias por la aclaración de los números primos y de la aritmética, perdón por las incorrecciones matemáticas que había dicho. Vale, lo común a todos los sistemas base de numeración es la aritmética, entiendo.
Creo que nuestra aritmética se caracteriza por reflejar un orden secuenciado, posicional, y basado en la proporcionalidad: sumar o restar implica tener en cuenta las relaciones de proporcionalidad de unos números con otros, asumo que en cualquier sistema base de numeración. Quizás me equivoco al pensar que la esencia misma de la aritmética es inseparable de la idea de proporcionalidad, así lo veo de momento.

Lo mismo ocurre ontológicamente en el mundo, todo él funciona mediante secuencias de proporcionalidad, ahora intentaré explicarlo. Que haya cantidades, es un hecho ontológico del mundo, que las matemáticas representan. Sabemos que eso no es una cuestión interpretativa ni humana. Al tiempo, para que el mundo pueda funcionar y se cumplan sus leyes, requiere necesariamente del concepto matemático de proporcionalidad. Porque lo que hace funcionar el mundo, no es sólo la cantidad, sino precisamente las relaciones entre las diversas cantidades del mundo unas con otras. Es decir, la proporcionalidad: los factores de relación de cantidades, hacen funcionar las leyes físicas y químicas y sus interrelaciones. Por eso he creído intuir que la proporcionalidad es el puente de relación ontológico entre las matemáticas (o al menos la aritmética) y el mundo.

Yo creo que el caso de la aritmética no es tan distinto del caso de la geometría. Con la geometría euclídea se elaboró una estructura matemática capaz de representar adecuadamente el espacio tal como es percivido por nosotros. En el caso de la aritmética de Peano, se trata de una estructura matemática capaz de representar la manera como cuantificamos, es decir, el funcionamiento de ciertas operaciones mentales que somos capaces de realizar. Ello no convierte en empírica a la aritmética del mismo modo que no lo es la geometría. Las figuras de las geometrías no euclídeas no somos capaces de imaginarlas visualmente. Las podemos seguir llamando figuras porque además del espacio percivido está el espaciotiempo físico, y a este podemos aplicarle otras geometrías distintas. Si alteráramos la aritmética de Peano modificando alguno de sus axiomas, no habría algo como las operaciones aritméticas físicas a que pudieramos aplicar esa nueva aritmética. No sé si estoy explicando bien mi idea.

No sé si mi punto de vista merece ser llamado psicologista. Yo siempre he entendido por psicologismo (en filosofía de las matemáticas) la reducción de las matemáticas a la psicología en la línea, por ejemplo, de Stuart Mill, que creía que en realidad los axiomas se podían justificar inductivamente. Yo no creo tal cosa, las matemáticas son enteramente a priori, nada tienen de empírico.

Ksetram: Creo que cometes una petición de principio. Al decir que sin la proporción matemática el mundo no podría funcionar estás dando por sentado que las matemáticas no son un mero instrumento para representar las regularidades que se dan en la realidad, sino que la propia estructura de la realidad es matemática. Y esto que estás dando por sentado es justo lo que pretendes demostrar.

Al decir que sin la proporción matemática el mundo no podría funcionar, me refiero simplemente a que sin estar proporcionado en sus cantidades, el mundo no podría funcionar. Las matemáticas se hacen eco de eso. Pero si la proporcionalidad estuviese tanto en la base de las matemáticas, en su estructura básica misma, por ejemplo en su aritmética como también lo está en el mundo, eso ya no es simplemente hacerse eco del mundo, sino mucho más. Es estar reflejando en su interior las matemáticas, una estructura del mundo: un paralelismo esencial con el mundo. Son cosas distintas, creo que quizás la diferencia entre ambas cosas no es obvia.

Creo que no te refieres a esto siguiente, pero por si acaso. Un tema diferente es si te refieres a que es erróneo decir que sin la proporción el mundo no podría funcionar. Es decir, si piensas que el concepto matemático de proporcionalidad, está sólo en las cabezas humanas y no en el mundo. Si es el caso, respondería: entonces no tendrás problema en que cambiemos la proporción de peso entre el Sol y los planetas, que hagamos el Sol cincuenta veces más pesado a ver qué ocurre. O que cambiemos la proporción entre la cantidad de espacio que ocupa el núcleo de cierto tipo de células concretas y lo dupliquemos, o que tripliquemos por ejemplo el peso de ese núcleo. Estos cambios darían al traste con esas células y con el Sistema Solar. Es decir, el mundo, de por sí, ontológicamente hablando, está proporcionado en sus cantidades unas con otras, independientemente de nuestras interpretaciones.

rdomenech31 escribió: Sí podemos imaginar geometrías no euclídeas (y verlas, y tocarlas), la geometría intrínseca de una superficie curva no es euclídea, por ejemplo, la superficie de una esfera.

rdomenech31 escribió: Yo hablo de psicologismo en el sentido de Husserl, o sea, de la postura según la cual los números son contenidos mentales. Para Husserl no lo son, sino que los números son objetivos. Cito:
Husserl, Ideas relativas a una fenomenología pura y una filosofía fenomenológica

Yo estoy de acuerdo con Husserl. Tú, si no te he entendido muy mal, eres psicologista en el sentido anterior. Te cito a continuación.

rdomenech31 escribió:

Pedro Pablo escribió:
Pero eso es más bien una metáfora visual que nos sirve para comprender, por una especie de analogía, esas geometrías. Si yo veo la superficie de una esfera o la toco, la veo en 3 dimensiones y la noto en 3 dimensiones (y lo que veo parece encajar con la geometría euclídea). Yo no puedo imaginar visualmente cómo sería percibir el mundo en 2 dimensiones, y mucho menos si ese espacio bidimensional se comportara como la superficie de una esfera.


En ese sentido sí que se me puede considerar psicologista, siempre que se tenga en cuenta lo siguiente: yo no creo que los números sean invenciones arbitrarias, sino que surgen de cierta manera de funcionar de nuestra mente que nos permite realizar cálculos aritméticos. La aritmética de Peano sí que es una construcción voluntaria creada para representar esas operaciones mentales, de modo similar a como la lógica clásica refleja la manera de funcionar de la operación mental de la inferencia deductiva. Que nuestras mentes funcionen de manera similar y, en los casos normales, de manera lo suficientemente similar como para que esas operaciones sean iguales en los distintos seres humanos no implica que los números existan en la realidad, de la misma manera que no implica que existan en la realidad condicionales, conjunciones o valores de verdad.

Ksetram: Sigo creyendo que cometes petición de principio. Trataré de explicarme: la proporción será, en todo caso, una relación entre números. Si los números no están en las cosas, no tiene sentido hablar de cambiar los números de la realidad o sus proporciones. En todo caso, podremos cambiar las propiedades de las cosas reales y ello cambiará los números que resultan de las mediciones que realizamos y, por tanto, las proporciones entre ellos. Pero hablar como lo haces es ya suponer que las proporciones y, por lo tanto, los números, están en la realidad.

Según mi pounto de vista, yo no puedo cambiar la proporción de peso entre el Sol y los planetas, puedo cambiar cierta propiedad de estos que lleva a que la medición que hago para determinar sus pesos me proporcione números distintos entre los que hay una proporción distinta. Por supuesto, ello tendría consecuencias desastrosas, pero pueden explicarse tanto desde tu teoría como desde la mía y, si pretendes defender la tuya no puedes incluirla entre tus premisas.

No es una metáfora visual, una superficie esférica es realmente un espacio no euclídeo de dos dimensiones. Si dos objetos se desplazan sobre la superficie de la Tierra en línea recta se acabarán encontrando en un punto, por tanto no existen líneas paralelas, por tanto no se cumple el quinto postulado de Euclides, que dice que por todo punto exterior a una recta pasa una paralela.

Si lo que quieres es visualizar un espacio no euclídeo tridimensional ponte delante de uno de esos espejos curvos que deforman las imágenes. El espacio que ves al otro lado del espejo no es euclídeo.

En cualquier caso, creo que eso no afecta a la esencia de mi argumento. En el caso de la geometría, hay varias cosas a que podemos tratar de aplicarlas (nuestra percepción del espacio, el espaciotiempo físico, la superficie de la esfera, el espacio tal como se ve en el espejo), mientras que no sucede nada análogo en aritmética, lo cual explica que no le veamos sentido a una noción distinta de "número".

Sin embargo, aunque no sea relevante para mi argumento, sigo creyendo que se trata de metáforas o analogías visuales. La superficie de la esfera es realmente un espacio no euclídeo de dos dimensiones pero la superficie de la esfera no existe separadamente, tenemos que abstraerla. Y podemos hacerlo, pero no podemos imaginar visualmente la superficie sin imaginar la esfera tridimensional. Si trazo líneas en esa superficie no veré dos rectas paralelas que se encuentran, veré líneas curvas. Puedo considerarlas como si fueran rectas, pero eso es una analogía o una extrapolación.

En el caso del espejo sucede lo mismo, puedo considerar ciertas líneas curvas como si fueran rectas, pero no puedo imaginarlas como rectas sin que se comporten como en un espacio euclídeo.